Для исследования сходимости данного ряда в точках $x = -2$ и $x = 2$ необходимо анализировать поведение его слагаемых при этих значениях $x$.

Ряд имеет вид:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{(n+1) 2^n}$

1. Подставим $x = 2$:

При $x = 2$ выражение ряда примет вид:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n}{(n+1) 2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}$

Это ряд, который представляет собой модификацию ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$, известного как альтернирующий ряд (ряд Лейбница). Рассмотрим его поведение:

• Ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ сходится по критерию Лейбница (для убывающих членов с пределом 0).
• В данном случае, поскольку каждый элемент $\frac{(-1)^n}{n+1}$ ведет себя аналогично элементам ряда Лейбница, этот ряд также сходится.

Таким образом, ряд сходится при $x = 2$.

2. Подставим $x = -2$:

При $x = -2$ выражение ряда примет вид:

= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}$$ Этот ряд имеет вид: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}$$ Это — **гармонический ряд**, сдвинутый на 1. Гармонический ряд известен тем, что он **расходится**. Таким образом, при $$x = -2$$ ряд расходится. ### Выводы: - При $$x = 2$$ ряд сходится. - При $$x = -2$$ ряд расходится. Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите, чтобы я пояснил решение подробнее, сообщите! --- **Вопросы для дальнейшего изучения:** 1. Что такое критерий Лейбница для сходимости рядов? 2. Как исследовать сходимость степенного ряда с помощью радиуса сходимости? 3. Как определить сходимость ряда с помощью теста на абстракцию (например, тест Даламбера)? 4. В чем заключается отличие между сходящимися и расходящимися гармоническими рядами? 5. Какие дополнительные методы могут использоваться для тестирования сходимости рядов с переменными? **Совет:** Для более глубокого понимания сходимости рядов, всегда полезно сначала проверять общие признаки сходимости, такие как уменьшение абсолютных значений членов ряда и их предел.