Pentru a demonstra că șirul $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ este convergent, vom analiza comportamentul său când $n \to \infty$.

Pasul 1: Rescrierea expresiei

Folosim conjugatul pentru a simplifica expresia: $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}.$

Pasul 2: Comportamentul la infinit

Când $n \to \infty$, numitorul $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ crește foarte mult. Mai precis: $\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \sim 2\sqrt{n} \quad \text{deoarece } \sqrt{n+1} \text{ și } \sqrt{n} \text{ sunt foarte apropiate}.$

Astfel, șirul devine: $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} \sim \frac{1}{2\sqrt{n}}.$

Pasul 3: Limită și convergență

$\frac{1}{2\sqrt{n}} \to 0$ când $n \to \infty$. Deoarece șirul tinde către 0, acesta este convergent.

Concluzie

Șirul $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ este convergent și are limita: $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = 0.$

---

Întrebări adiționale:

1. Cum putem demonstra că șirul este monoton descrescător?
2. Ce proprietăți suplimentare au șirurile cu limite finite?
3. Cum putem extinde demonstrația pentru alte expresii similare, de exemplu $\sqrt{n+a} - \sqrt{n}$?
4. Care este viteza de convergență a acestui șir spre 0?
5. Cum putem verifica numeric limitele unui șir dat?

Tip: Folosiți conjugatul atunci când simplificați expresii cu radicali; acest truc ajută la eliminarea diferențelor în numitor.