Pentru a arăta că șirul $\frac{n}{2^n}$ este convergent și pentru a calcula limita acestuia, vom urma pașii următori:

1. Scrierea expresiei șirului

Avem: $a_n = \frac{n}{2^n}.$

2. Determinarea convergenței

Pentru a verifica dacă șirul converge, vom analiza comportamentul lui $\frac{n}{2^n}$ când $n \to \infty$. Observăm că:

• La numărător avem $n$, care tinde la infinit, dar crește liniar.
• La numitor avem $2^n$, care tinde la infinit, dar crește exponențial.

Creșterea exponențială a lui $2^n$ domină creșterea liniară a lui $n$, deci șirul $\frac{n}{2^n} \to 0$. Vom demonstra aceasta folosind criteriul raportului.

3. Aplicarea criteriului raportului

Folosim relația: $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.$

Calculăm: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \frac{(n+1) \cdot 2^n}{n \cdot 2^{n+1}} = \frac{n+1}{2n}.$

Simplificăm: $\frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}.$

Când $n \to \infty$, termenul $\frac{1}{2n} \to 0$, deci: $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2}.$

Cum $\frac{1}{2} < 1$, șirul $\frac{n}{2^n}$ converge.

4. Calcularea limitei

Pentru a calcula limita, folosim regula lui de l'Hôpital, deoarece avem o formă de tipul $\frac{\infty}{\infty}$. Considerăm funcția asociată: $f(n) = \frac{n}{2^n}.$

Aplicăm regula lui de l'Hôpital: $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{dn}(n)}{\frac{d}{dn}(2^n)}.$

Derivăm:

• Derivata lui $n$ este $1$.
• Derivata lui $2^n$ este $2^n \ln 2$.

Astfel: $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n \ln 2}.$

Cum $2^n \to \infty$, fracția $\frac{1}{2^n \ln 2} \to 0$. Prin urmare: $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} = 0.$

Concluzie

Șirul $\frac{n}{2^n}$ este convergent, iar limita sa este: $\boxed{0}.$

Dacă ai nevoie de detalii sau alte explicații, spune-mi!

Întrebări adiționale:

1. Cum ar putea fi extins șirul $\frac{n}{2^n}$ pentru $n$ negativ?
2. Cum se compară rata de creștere a $n!$ cu $2^n$ în șiruri similare?
3. Este convergent șirul $\frac{n^2}{2^n}$? Dacă da, ce limită are?
4. Cum putem folosi inducția matematică pentru a arăta că șirul scade suficient de repede?
5. Cum afectează alte baze (e.g., $3^n$ sau $e^n$) limitele unor șiruri similare?

Tip:

La analizarea convergenței, criteriul raportului este foarte util pentru șiruri cu termeni de tip factorial sau exponențial.