Pentru a calcula limita șirului $\frac{n}{2^n}$, procedăm astfel:

Problema:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n}$

Soluție:

1. Observăm creșterea termenilor:

   • Numărătorul $n$ crește liniar.
   • Numitorul $2^n$ crește exponențial (mult mai rapid decât numărătorul).

2. Aplicăm metoda rapoartelor succesive: Comparăm creșterea celor două funcții: $\frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n}$ Când $n \to \infty$, $\frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2}$, ceea ce arată că termenii scad rapid.

3. Testăm comportamentul limitei: Folosim formula generală a limitei șirului: $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} = 0$ deoarece termenul exponențial $2^n$ domină numărătorul liniar $n$.

4. Verificare cu regula lui L’Hôpital (pentru funcția continuă corespunzătoare șirului): Rescriem limita ca: $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^x}$ Aplicăm regula lui L’Hôpital: $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^x \ln 2} = 0$ deoarece $2^x$ crește exponențial, iar $\ln 2 > 0$.

Concluzie:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} = 0$

---

Dacă dorești detalii suplimentare sau explicații mai amănunțite, spune-mi.

Întrebări adiționale:

1. Cum putem evalua limitele șirurilor fără regula lui L’Hôpital?
2. Cum putem aplica alte metode pentru limitele șirurilor exponențiale?
3. Ce condiții trebuie să fie îndeplinite pentru a folosi regula lui L’Hôpital?
4. Care sunt aplicațiile practice ale acestor limite?
5. Cum influențează rata de creștere a termenilor comportamentul șirului?

Tip: Pentru limite cu funcții exponențiale și polinoame, termenii exponențiali domină întotdeauna!