Math Problem Statement
Найти точки разрыва функции f ( x ) и определить их характер. f(x) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 3^((x-1)/(x^2 - 2*x)), x < 2 (ln(x-1))/(x-2), x > 2
Solution
Найдем точки разрыва функции и определим их характер. Дана функция:
\begin{cases} 3^{\frac{x-1}{x^2 - 2x}}, & x < 2 \\ \frac{\ln(x-1)}{x-2}, & x > 2 \end{cases}$$ ### 1. **Область определения функции** - Для $$x < 2$$: Выражение в показателе $$\frac{x-1}{x^2 - 2x}$$ определено, если $$x^2 - 2x \neq 0$$, что выполняется при $$x \neq 0$$ и $$x \neq 2$$ (но $$x < 2$$, так что только $$x \neq 0$$). - Для $$x > 2$$: Выражение $$\frac{\ln(x-1)}{x-2}$$ определено, если $$x-1 > 0$$, то есть $$x > 1$$. Но так как $$x > 2$$, это условие автоматически выполнено. Итак, область определения: $$D_f = (-\infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty).$$ ### 2. **Исследование точки $$x = 2$$** #### Левосторонний предел: $$f(x) = 3^{\frac{x-1}{x^2 - 2x}}, \quad x \to 2^-.$$ Рассмотрим показатель: $$\frac{x-1}{x^2 - 2x} = \frac{x-1}{x(x-2)}.$$ При $$x \to 2^-$$: - $$x-1 \to 1$$, - $$x(x-2) \to 2(0^-) = 0^-$$, поэтому $$\frac{x-1}{x^2 - 2x} \to -\infty.$$ Тогда $$3^{\frac{x-1}{x^2 - 2x}} \to 3^{-\infty} = 0.$$ Итак, $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 0.$$ #### Правосторонний предел: $$f(x) = \frac{\ln(x-1)}{x-2}, \quad x \to 2^+.$$ В числителе $$\ln(x-1) \to \ln(1) = 0$$, а в знаменателе $$x-2 \to 0^+$$. Таким образом, $$\frac{\ln(x-1)}{x-2} \to \frac{0}{0^+}.$$ Используем правилоAsk a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Continuity
Limits
Piecewise Functions
Asymptotic Behavior
Formulas
Limit definition: lim_{x → a} f(x)
Exponentiation: a^(b) = e^(b ln(a))
Logarithmic properties: ln(ab) = ln(a) + ln(b)
Theorems
Definition of Continuity
L'Hôpital's Rule (for indeterminate forms)
Suitable Grade Level
Grades 11-12 or introductory college-level calculus
Related Recommendation
Analyzing Continuity and Differentiability of a Piecewise Function at x = 1
Continuity and Limits of f(x) = 3^x / (1 - e^(-4x))
Analyzing Discontinuities in a Complex Function
Calcul des Limites de la Fonction x/(x+1) - ln(x+1) aux Bornes -1 et +∞
Find Horizontal and Oblique Asymptotes for f(x) = (x − 1)/ln(x − 1)