Math Problem Statement

Исследовать на непрерывность: (a) 𝑦(𝑥) = (𝑥−1)/(𝑥^2 −2𝑥)

Solution

Рассмотрим функцию y(x)=x1x22xy(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 2x} и исследуем ее на непрерывность.

Для этого нам нужно:

  1. Найти область определения функции.
  2. Определить точки, в которых функция может быть разрывной.
  3. Проверить непрерывность функции в этих точках.

Шаг 1: Найдем область определения функции

Знаменатель функции равен x22xx^2 - 2x. Чтобы функция была определена, знаменатель не должен равняться нулю: x22x=0x^2 - 2x = 0 Вынесем xx за скобки: x(x2)=0x(x - 2) = 0 Решая это уравнение, находим: x=0илиx=2x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 Следовательно, функция y(x)=x1x22xy(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 2x} не определена при x=0x = 0 и x=2x = 2.

Шаг 2: Определим тип разрыва в x=0x = 0 и x=2x = 2

Точка x=0x = 0

Поскольку y(x)y(x) не определена в точке x=0x = 0, мы проверим предел слева и справа от этой точки.

limx0x1x(x2)\lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{x(x - 2)} Видно, что при x0x \to 0, знаменатель стремится к нулю, а числитель стремится к 1-1, что указывает на бесконечный разрыв.

Точка x=2x = 2

Аналогично, рассмотрим предел в точке x=2x = 2: limx2x1x(x2)\lim_{x \to 2} \frac{x - 1}{x(x - 2)} Здесь также знаменатель стремится к нулю при x2x \to 2, что указывает на бесконечный разрыв.

Вывод

Функция y(x)=x1x22xy(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 2x} имеет бесконечные разрывы в точках x=0x = 0 и x=2x = 2. Следовательно, она не является непрерывной в этих точках и, значит, не является непрерывной на всей числовой прямой.

Если вам нужна дополнительная информация или у вас есть вопросы, пожалуйста, дайте знать.

Связанные вопросы для изучения:

  1. Что такое разрыв второго рода?
  2. В чем отличие между разрывом первого и второго рода?
  3. Каковы критерии непрерывности функции в точке?
  4. Какие типы разрывов существуют?
  5. Как исследовать функцию на разрыв в сложных случаях?

Совет: Всегда находите область определения функции в первую очередь, чтобы понять, где возможны разрывы.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Continuity
Rational Functions
Limits
Points of Discontinuity

Formulas

y(x) = (x - 1) / (x^2 - 2x)
x(x - 2) = 0
lim_{x -> 0} (x - 1) / (x(x - 2))
lim_{x -> 2} (x - 1) / (x(x - 2))

Theorems

Definition of Continuity
Criteria for Discontinuity (Infinite Discontinuity)

Suitable Grade Level

Undergraduate Calculus or Advanced High School Calculus