Math Problem Statement
Исследовать на непрерывность: (a) 𝑦(𝑥) = (𝑥−1)/(𝑥^2 −2𝑥)
Solution
Рассмотрим функцию и исследуем ее на непрерывность.
Для этого нам нужно:
- Найти область определения функции.
- Определить точки, в которых функция может быть разрывной.
- Проверить непрерывность функции в этих точках.
Шаг 1: Найдем область определения функции
Знаменатель функции равен . Чтобы функция была определена, знаменатель не должен равняться нулю: Вынесем за скобки: Решая это уравнение, находим: Следовательно, функция не определена при и .
Шаг 2: Определим тип разрыва в и
Точка
Поскольку не определена в точке , мы проверим предел слева и справа от этой точки.
Видно, что при , знаменатель стремится к нулю, а числитель стремится к , что указывает на бесконечный разрыв.
Точка
Аналогично, рассмотрим предел в точке : Здесь также знаменатель стремится к нулю при , что указывает на бесконечный разрыв.
Вывод
Функция имеет бесконечные разрывы в точках и . Следовательно, она не является непрерывной в этих точках и, значит, не является непрерывной на всей числовой прямой.
Если вам нужна дополнительная информация или у вас есть вопросы, пожалуйста, дайте знать.
Связанные вопросы для изучения:
- Что такое разрыв второго рода?
- В чем отличие между разрывом первого и второго рода?
- Каковы критерии непрерывности функции в точке?
- Какие типы разрывов существуют?
- Как исследовать функцию на разрыв в сложных случаях?
Совет: Всегда находите область определения функции в первую очередь, чтобы понять, где возможны разрывы.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Continuity
Rational Functions
Limits
Points of Discontinuity
Formulas
y(x) = (x - 1) / (x^2 - 2x)
x(x - 2) = 0
lim_{x -> 0} (x - 1) / (x(x - 2))
lim_{x -> 2} (x - 1) / (x(x - 2))
Theorems
Definition of Continuity
Criteria for Discontinuity (Infinite Discontinuity)
Suitable Grade Level
Undergraduate Calculus or Advanced High School Calculus
Related Recommendation
Continuity of Rational Function y = 1/(x-2) - 3x
Identifying Points of Discontinuity in f(x) = (x−2)/(x^2−3x+2) Using Continuity
Continuity of Rational Function f(x) = (x + 2) / (x - 3) on Open and Closed Intervals
Why the Function is Discontinuous at a = 1: Limit and Continuity Explained
Analysis of the Rational Function y = (x^2 + 3x) / (x - 1)