пусть X1,...,Xn - независимая выборка из генеральной совокупности X~R($$ -\theta,\theta $$). При каком C оценка $$ C\sqrt{3X^2}\text{ } $$является состоятельной для $$ \theta $$

Нам нужно найти такое значение константы $ C $, чтобы оценка $ C\sqrt{3X^2} $ была состоятельной для параметра $ \theta $, где $ X_1, X_2, \dots, X_n $ — независимая выборка из генеральной совокупности с распределением $ X \sim R(-\theta, \theta) $. То есть, $ X $ имеет равномерное распределение на отрезке $ [-\theta, \theta] $.

### 1. Ожидание квадрата выборки

Для начала найдём математическое ожидание $ X^2 $ для $ X \sim R(-\theta, \theta) $. Для этого используем формулу для математического ожидания квадрата случайной величины с равномерным распределением на отрезке $ [-\theta, \theta] $:

\[
\mathbb{E}[X^2] = \frac{1}{2\theta} \int_{-\theta}^{\theta} x^2 \, dx.
\]

Рассчитаем интеграл:

\[
\mathbb{E}[X^2] = \frac{1}{2\theta} \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_{-\theta}^{\theta} = \frac{1}{2\theta} \cdot \left( \frac{\theta^3}{3} - \frac{(-\theta)^3}{3} \right) = \frac{1}{2\theta} \cdot \frac{2\theta^3}{3} = \frac{\theta^2}{3}.
\]

Таким образом, $ \mathbb{E}[X^2] = \frac{\theta^2}{3} $.

### 2. Найдём $ C $

Теперь посмотрим на предложенную оценку $ C\sqrt{3X^2} $. Чтобы эта оценка была состоятельной, она должна стремиться к истинному значению $ \theta $ при $ n \to \infty $. Рассмотрим закон больших чисел, по которому выборочное среднее величин $ X_i^2 $ (где $ i = 1, 2, \dots, n $) сходится к $ \mathbb{E}[X^2] $, то есть:

\[
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 \to \frac{\theta^2}{3}.
\]

Соответственно, $ X^2 $ в среднем стремится к $ \frac{\theta^2}{3} $, и корень из $ 3X^2 $ стремится к $ \theta $, поскольку:

\[
\sqrt{3X^2} \to \theta.
\]

Для того чтобы оценка $ C\sqrt{3X^2} $ была состоятельной, необходимо, чтобы $ C $ было равно 1, так как только в этом случае оценка будет стремиться к $ \theta $:

\[
C\sqrt{3X^2} \to \theta \quad \text{при} \quad C = 1.
\]

### Ответ

Таким образом, оценка $ \sqrt{3X^2} $ будет состоятельной для $ \theta $, если $ C = 1 $.

---

Хотите ли вы больше подробностей по этому вопросу или дополнительную информацию?

**Относительные вопросы:**
1. Как доказать состоятельность оценки в общем случае?
2. Как найти эффективную оценку для параметра $ \theta $?
3. Чем отличается состоятельность от несмещённости оценки?
4. Какие другие методы существуют для оценки параметра равномерного распределения?
5. Как учитывать асимптотическое поведение оценки при малых выборках?

**Совет:** Всегда проверяйте свойства оценок: состоятельность, несмещённость и эффективность — это ключевые качества хороших оценок.

пусть X1,...,Xn - независимая выборка из генеральной совокупности X~R($$ -\theta,\theta $$). При каком C оценка $$ C\sqrt{3X^2}\text{ } $$ является состоятельной для $$ \theta $$

Explore the consistency of the estimator C√(3X²) for the parameter θ in a uniform distribution [-θ, θ]. Learn how the Law of Large Numbers applies to independent samples from a uniform distribution and find the value of C that ensures the estimator is consistent for θ.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation