Нам нужно найти такое значение константы $C$, чтобы оценка $C\sqrt{3X^2}$ была состоятельной для параметра $\theta$, где $X_1, X_2, \dots, X_n$ — независимая выборка из генеральной совокупности с распределением $X \sim R(-\theta, \theta)$. То есть, $X$ имеет равномерное распределение на отрезке $[-\theta, \theta]$.

1. Ожидание квадрата выборки

Для начала найдём математическое ожидание $X^2$ для $X \sim R(-\theta, \theta)$. Для этого используем формулу для математического ожидания квадрата случайной величины с равномерным распределением на отрезке $[-\theta, \theta]$:

$\mathbb{E}[X^2] = \frac{1}{2\theta} \int_{-\theta}^{\theta} x^2 \, dx.$

Рассчитаем интеграл:

$\mathbb{E}[X^2] = \frac{1}{2\theta} \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_{-\theta}^{\theta} = \frac{1}{2\theta} \cdot \left( \frac{\theta^3}{3} - \frac{(-\theta)^3}{3} \right) = \frac{1}{2\theta} \cdot \frac{2\theta^3}{3} = \frac{\theta^2}{3}.$

Таким образом, $\mathbb{E}[X^2] = \frac{\theta^2}{3}$.

2. Найдём $C$

Теперь посмотрим на предложенную оценку $C\sqrt{3X^2}$. Чтобы эта оценка была состоятельной, она должна стремиться к истинному значению $\theta$ при $n \to \infty$. Рассмотрим закон больших чисел, по которому выборочное среднее величин $X_i^2$ (где $i = 1, 2, \dots, n$) сходится к $\mathbb{E}[X^2]$, то есть:

$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 \to \frac{\theta^2}{3}.$

Соответственно, $X^2$ в среднем стремится к $\frac{\theta^2}{3}$, и корень из $3X^2$ стремится к $\theta$, поскольку:

$\sqrt{3X^2} \to \theta.$

Для того чтобы оценка $C\sqrt{3X^2}$ была состоятельной, необходимо, чтобы $C$ было равно 1, так как только в этом случае оценка будет стремиться к $\theta$:

$C\sqrt{3X^2} \to \theta \quad \text{при} \quad C = 1.$

Ответ

Таким образом, оценка $\sqrt{3X^2}$ будет состоятельной для $\theta$, если $C = 1$.

---

Хотите ли вы больше подробностей по этому вопросу или дополнительную информацию?

Относительные вопросы:

1. Как доказать состоятельность оценки в общем случае?
2. Как найти эффективную оценку для параметра $\theta$?
3. Чем отличается состоятельность от несмещённости оценки?
4. Какие другие методы существуют для оценки параметра равномерного распределения?
5. Как учитывать асимптотическое поведение оценки при малых выборках?

Совет: Всегда проверяйте свойства оценок: состоятельность, несмещённость и эффективность — это ключевые качества хороших оценок.