Krok 2: Výpočet intervalového odhadu pro průměr
Použijeme t-rozdělení, protože velikost vzorku je malá (
n
<
30
n<30).
Vzorec pro intervalový odhad je: 
X
ˉ
±
t
α
/
2
,
n
−
1
⋅
s
n
X
ˉ
 ±t 
α/2,n−1
​
 ⋅ 
n
​
 
s
​
 
Pro 95% interval spolehlivosti (
α
=
0.05
α=0.05) je kritická hodnota 
t
0.025
,
9
t 
0.025,9
​
 , kterou lze najít v tabulkách t-rozdělení nebo pomocí statistického softwaru. Pro 
d
f
=
9
df=9 je 
t
0.025
,
9
≈
2.262
t 
0.025,9
​
 ≈2.262.
Vypočítáme chybu odhadu: 
Chyba odhadu
=
t
α
/
2
,
n
−
1
⋅
s
n
=
2.262
⋅
1.611
10
≈
2.262
⋅
0.401
≈
0.907
Chyba odhadu=t 
α/2,n−1
​
 ⋅ 
n
​
 
s
​
 =2.262⋅ 
10
​
 
1.611
​
 
​
 ≈2.262⋅0.401≈0.907
Tedy intervalový odhad je: 
11.5
±
0.907
11.5±0.907
Takže 95% interval spolehlivosti pro průměr je: 
(
10.593
,
12.407
)
(10.593,12.407)

Váš výpočet intervalového odhadu pro průměr pomocí t-rozdělení je správný. Pojďme si to shrnout a ověřit krok za krokem.

### Výpočet
Máme:
- **Průměr vzorku** \( \bar{X} = 11.5 \)
- **Směrodatná odchylka vzorku** \( s = 1.611 \)
- **Velikost vzorku** \( n = 10 \)
- **Hladina významnosti** \( \alpha = 0.05 \), takže kritická hodnota \( t_{0.025,9} \approx 2.262 \) (pro 9 stupňů volnosti, tedy \( n - 1 = 9 \)).

1. **Výpočet chyby odhadu:**
   \[
   \text{Chyba odhadu} = t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
   \]
   \[
   = 2.262 \cdot \frac{1.611}{\sqrt{10}} \approx 2.262 \cdot 0.401 \approx 0.907
   \]

2. **Intervalový odhad pro průměr:**
   \[
   \bar{X} \pm \text{Chyba odhadu} = 11.5 \pm 0.907
   \]
   \[
   = (10.593, 12.407)
   \]

### Závěr
95% interval spolehlivosti pro průměr je tedy skutečně \( (10.593, 12.407) \).

Máte otázky k výpočtu nebo chcete podrobnější vysvětlení některého kroku?

---

### Otázky k dalšímu procvičování:
1. Co by se změnilo, kdyby se velikost vzorku zvýšila na \( n = 20 \)?
2. Jak by se intervalový odhad změnil při 99% hladině spolehlivosti?
3. Proč se používá t-rozdělení namísto normálního rozdělení u malých vzorků?
4. Jak ovlivňuje hodnota směrodatné odchylky intervalový odhad?
5. Co znamená "interval spolehlivosti" v kontextu reálných dat?

### Tip
Pokud máte malé vzorky (obvykle \( n < 30 \)), vždy zvažte použití t-rozdělení místo normálního rozdělení pro přesnější odhady.

Krok 2: Výpočet intervalového odhadu pro průměr Použijeme t-rozdělení, protože velikost vzorku je malá (n < 30). Vzorec pro intervalový odhad je: Xˉ ± tα/2,n−1 ⋅ s/√n. Pro 95% interval spolehlivosti (α = 0.05) je kritická hodnota t0.025,9 ≈ 2.262. Vypočítáme chybu odhadu: Chyba odhadu = tα/2,n−1 ⋅ s/√n = 2.262 ⋅ 1.611/√10 ≈ 2.262 ⋅ 0.401 ≈ 0.907. Tedy intervalový odhad je: 11.5 ± 0.907. Takže 95% interval spolehlivosti pro průměr je: (10.593, 12.407).

Calculate the 95% confidence interval for the mean using the t-distribution, ideal for small sample sizes (n < 30). This step-by-step solution covers key statistical concepts including the t-distribution and confidence interval formula, with critical values and example data points for accuracy.

Math Problem Statement

Pro 95% interval spolehlivosti ( α

0.05 α=0.05) je kritická hodnota t 0.025 , 9 t 0.025,9 , kterou lze najít v tabulkách t-rozdělení nebo pomocí statistického softwaru. Pro d f

9 df=9 je t 0.025 , 9 ≈ 2.262 t 0.025,9 ≈2.262. Vypočítáme chybu odhadu: Chyba odhadu

t α / 2 , n − 1 ⋅ s n

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation