Math Problem Statement

Krok 2: Výpočet intervalového odhadu pro průměr Použijeme t-rozdělení, protože velikost vzorku je malá ( n < 30 n<30). Vzorec pro intervalový odhad je: X ˉ ± t α / 2 , n − 1 ⋅ s n X ˉ ±t α/2,n−1 ​ ⋅ n ​

s ​

Pro 95% interval spolehlivosti ( α

0.05 α=0.05) je kritická hodnota t 0.025 , 9 t 0.025,9 ​ , kterou lze najít v tabulkách t-rozdělení nebo pomocí statistického softwaru. Pro d f

9 df=9 je t 0.025 , 9 ≈ 2.262 t 0.025,9 ​ ≈2.262. Vypočítáme chybu odhadu: Chyba odhadu

t α / 2 , n − 1 ⋅ s n

2.262 ⋅ 1.611 10 ≈ 2.262 ⋅ 0.401 ≈ 0.907 Chyba odhadu=t α/2,n−1 ​ ⋅ n ​

s ​ =2.262⋅ 10 ​

1.611 ​

​ ≈2.262⋅0.401≈0.907 Tedy intervalový odhad je: 11.5 ± 0.907 11.5±0.907 Takže 95% interval spolehlivosti pro průměr je: ( 10.593 , 12.407 ) (10.593,12.407)

Solution

Váš výpočet intervalového odhadu pro průměr pomocí t-rozdělení je správný. Pojďme si to shrnout a ověřit krok za krokem.

Výpočet

Máme:

  • Průměr vzorku Xˉ=11.5\bar{X} = 11.5
  • Směrodatná odchylka vzorku s=1.611s = 1.611
  • Velikost vzorku n=10n = 10
  • Hladina významnosti α=0.05\alpha = 0.05, takže kritická hodnota t0.025,92.262t_{0.025,9} \approx 2.262 (pro 9 stupňů volnosti, tedy n1=9n - 1 = 9).
  1. Výpočet chyby odhadu: Chyba odhadu=tα/2,n1sn\text{Chyba odhadu} = t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} =2.2621.611102.2620.4010.907= 2.262 \cdot \frac{1.611}{\sqrt{10}} \approx 2.262 \cdot 0.401 \approx 0.907

  2. Intervalový odhad pro průměr: Xˉ±Chyba odhadu=11.5±0.907\bar{X} \pm \text{Chyba odhadu} = 11.5 \pm 0.907 =(10.593,12.407)= (10.593, 12.407)

Závěr

95% interval spolehlivosti pro průměr je tedy skutečně (10.593,12.407)(10.593, 12.407).

Máte otázky k výpočtu nebo chcete podrobnější vysvětlení některého kroku?


Otázky k dalšímu procvičování:

  1. Co by se změnilo, kdyby se velikost vzorku zvýšila na n=20n = 20?
  2. Jak by se intervalový odhad změnil při 99% hladině spolehlivosti?
  3. Proč se používá t-rozdělení namísto normálního rozdělení u malých vzorků?
  4. Jak ovlivňuje hodnota směrodatné odchylky intervalový odhad?
  5. Co znamená "interval spolehlivosti" v kontextu reálných dat?

Tip

Pokud máte malé vzorky (obvykle n<30n < 30), vždy zvažte použití t-rozdělení místo normálního rozdělení pro přesnější odhady.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Statistics
Confidence Interval
t-Distribution

Formulas

X̄ ± tα/2,n-1 ⋅ s/√n

Theorems

Confidence Interval estimation using t-distribution

Suitable Grade Level

College Level or Advanced High School