問題を解くためには、条件付き確率を利用します。条件付き確率 $P(T = t_2 \,|\, T \geq t_1)$ は以下の式で計算されます：

$P(T = t_2 \,|\, T \geq t_1) = \frac{P(T \geq t_2)}{P(T \geq t_1)}$

ここで、$T$ は製品の寿命、$t_1 = 2$（2年間問題なく動作したことを条件）、そして $t_2 = 3$（3年目での故障を考える）です。製品寿命の累積分布関数（CDF）が与えられているので、確率密度関数（PDF）を導出し、それを使用して計算します。

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ステップ 1: 累積分布関数 (CDF) の導出

累積分布関数 $P(T < t)$ は次のように計算されます：

$P(T < t) = 1 - P(T \geq t)$

与えられた式より、$P(T \geq t) = e^{-t/6}$ なので、CDF は次のようになります：

$P(T < t) = 1 - e^{-t/6}$

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ステップ 2: 確率密度関数 (PDF) の導出

PDF $f(t)$ は CDF の微分として計算できます：

$f(t) = \frac{d}{dt} P(T < t) = \frac{d}{dt} \left(1 - e^{-t/6}\right) = \frac{1}{6} e^{-t/6}$

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ステップ 3: 条件付き確率の計算

故障が 2 年後から 3 年以内に発生する確率は、次のように計算されます：

$P(2 \leq T < 3 \,|\, T \geq 2) = \frac{P(2 \leq T < 3)}{P(T \geq 2)}$

ここで、分母と分子をそれぞれ計算します。

(1) $P(T \geq 2)$

$P(T \geq 2) = e^{-2/6} \approx 0.7165$

(2) $P(2 \leq T < 3)$

$P(2 \leq T < 3) = P(T \geq 2) - P(T \geq 3)$

それぞれ計算すると： $P(T \geq 3) = e^{-3/6} = e^{-1/2} \approx 0.6065$

したがって： $P(2 \leq T < 3) = P(T \geq 2) - P(T \geq 3) = 0.7165 - 0.6065 = 0.11$

(3) 条件付き確率

最後に条件付き確率を求めます： $P(2 \leq T < 3 \,|\, T \geq 2) = \frac{P(2 \leq T < 3)}{P(T \geq 2)} = \frac{0.11}{0.7165} \approx 0.1535$

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答え

製品が 2 年間問題なく使用した後、3 年目に故障する確率は約 0.1535 (15.35%) です。

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他に知りたいことはありますか？

1. 条件付き確率の一般的な定義について学びますか？
2. 累積分布関数 (CDF) の役割と応用について詳しく説明しましょうか？
3. 確率密度関数 (PDF) の微分の意味について知りたいですか？
4. 計算の途中式をもっと詳しく説明しましょうか？
5. これを Python コードで計算する方法に興味がありますか？

TIP: 条件付き確率の分母は、条件を満たす全事象の確率を表します。そのため、正確に計算することが重要です！