Gegeben:

• 6% aller Klimaanlagen sind defekt.
• 96% aller Beleuchtungsanlagen funktionieren einwandfrei.
• 91% aller Flugzeuge haben sowohl funktionierende Klimaanlagen als auch funktionierende Beleuchtung.

Aufgabe (a): Vierfeldertafel

Die beiden Merkmale sind:

• Klimaanlage (K): Defekt oder Funktioniert
• Beleuchtung (B): Defekt oder Funktioniert

Wir können die folgenden Wahrscheinlichkeiten ableiten:

• $P(K_f) = 0{,}94$ (Klimaanlage funktioniert, also 94%)
• $P(K_d) = 0{,}06$ (Klimaanlage defekt, also 6%)
• $P(B_f) = 0{,}96$ (Beleuchtung funktioniert, also 96%)
• $P(B_d) = 0{,}04$ (Beleuchtung defekt, also 4%)
• $P(K_f \cap B_f) = 0{,}91$ (Beide funktionieren, also 91%)

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Klimaanlage defekt ist und die Beleuchtung funktioniert, ist:

$P(K_d \cap B_f) = P(B_f) - P(K_f \cap B_f) = 0{,}96 - 0{,}91 = 0{,}05$

Nun wissen wir:

• $P(K_f \cap B_f) = 0{,}91$
• $P(K_d \cap B_f) = 0{,}05$

Für die Wahrscheinlichkeit, dass beide defekt sind:

$P(K_d \cap B_d) = P(K_d) - P(K_d \cap B_f) = 0{,}06 - 0{,}05 = 0{,}01$

Und für die Wahrscheinlichkeit, dass die Klimaanlage funktioniert, aber die Beleuchtung defekt ist:

$P(K_f \cap B_d) = P(B_d) - P(K_d \cap B_d) = 0{,}04 - 0{,}01 = 0{,}03$

Nun können wir die Vierfeldertafel ausfüllen:

	Beleuchtung funktioniert ($B_f$)	Beleuchtung defekt ($B_d$)	Gesamt
Klimaanlage funktioniert ($K_f$)	0{,}91	0{,}03	0{,}94
Klimaanlage defekt ($K_d$)	0{,}05	0{,}01	0{,}06
Gesamt	0{,}96	0{,}04	1{,}00

Aufgabe (b): Bedingte Wahrscheinlichkeit

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Klimaanlage defekt ist, wenn schon bekannt ist, dass die Beleuchtung defekt ist. Das ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(K_d | B_d)$.

Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit lautet:

$P(K_d | B_d) = \frac{P(K_d \cap B_d)}{P(B_d)}$

Wir haben bereits:

• $P(K_d \cap B_d) = 0{,}01$
• $P(B_d) = 0{,}04$

Also:

$P(K_d | B_d) = \frac{0{,}01}{0{,}04} = 0{,}25$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Klimaanlage defekt ist, wenn die Beleuchtung defekt ist, beträgt 25%.

Möchten Sie mehr Details oder haben Sie Fragen?

Hier sind 5 weitere Fragen, die auf diesem Thema aufbauen:

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder die Klimaanlage oder die Beleuchtung defekt ist?
2. Wie könnte man die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(B_d | K_d)$ berechnen?
3. Wie kann die Vierfeldertafel in einer realen Inspektion verwendet werden, um Vorhersagen zu treffen?
4. Was wäre die Wahrscheinlichkeit, dass beide Systeme defekt sind, wenn beide als voneinander unabhängig gelten würden?
5. Wie könnte eine Fehlerquote bei der Inspektion die Ergebnisse beeinflussen?

Tipp: Die bedingte Wahrscheinlichkeit zeigt, wie Wissen über ein Ereignis (z.B. defekte Beleuchtung) die Wahrscheinlichkeit eines anderen Ereignisses (z.B. defekte Klimaanlage) beeinflusst.