Thema finanzmathematik.

Berechnen Sie den Betrag, den Jan verwenden kann, wenn er nach vier Jahren noch 10.000,00 € übrig haben möchte.
Nach erfolgreicher Produkteinführung kann es sich Jan mittlerweile leisten, Rücklagen zu bilden. Zu den verbliebenen 10.000,00 € zahlt er fortan am Jahresende 6.000,00 € ein. Die jährliche Verzinsung bleibt bei 2,25 %.

wie lautet die zinseszinsformel


Die Zinseszinsformel wird verwendet, um den Endbetrag eines Kapitals zu berechnen, das über eine bestimmte Anzahl von Perioden zu einem festen Zinssatz verzinst wird. Die allgemeine Formel lautet:

\[
K_n = K_0 \cdot (1 + \frac{i}{n})^{n \cdot t}
\]

wobei:
- \( K_n \) der Endkapitalwert nach \( t \) Jahren ist,
- \( K_0 \) der Anfangskapitalwert ist,
- \( i \) der Zinssatz (in Dezimalform, z. B. 2,25 % = 0,0225),
- \( n \) die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr ist (bei jährlicher Verzinsung \( n = 1 \)),
- \( t \) die Anzahl der Jahre ist.

In deinem Fall gibt es regelmäßige Einzahlungen von 6.000 € am Jahresende. Um dies zu berücksichtigen, verwenden wir eine angepasste Formel, die sowohl den Anfangsbetrag als auch die regelmäßigen Einzahlungen berücksichtigt. Das wird als **Sparplan mit Zinseszins** berechnet und verwendet die Formel:

\[
K_n = K_0 \cdot (1 + i)^t + R \cdot \left( \frac{(1 + i)^t - 1}{i} \right)
\]

wobei:
- \( R \) die regelmäßige Einzahlung ist,
- \( i \) der Zinssatz (pro Jahr) ist,
- \( t \) die Laufzeit in Jahren ist.

### Aufgabe: Betrag den Jan verwenden kann, wenn er nach 4 Jahren noch 10.000 € übrig haben möchte

Hier die Schritte:

1. Gegeben:
   - Zinssatz \( i = 2,25\% = 0,0225 \),
   - Endwert \( K_n = 10.000,00 \) €,
   - Einzahlungen \( R = 6.000,00 \) € pro Jahr,
   - Zeitspanne \( t = 4 \) Jahre.

Nun lösen wir das nach dem Anfangskapital \( K_0 \) auf.

\[
K_0 = \frac{K_n - R \cdot \left( \frac{(1 + i)^t - 1}{i} \right)}{(1 + i)^t}
\]

Möchtest du, dass ich das konkret für dich ausrechne?

---

Hier sind 5 vertiefende Fragen:
1. Wie wirkt sich der Zinssatz auf den Endbetrag aus, wenn dieser höher wäre?
2. Wie ändert sich der Betrag, wenn Jan seine Einzahlungen erhöht?
3. Was passiert, wenn Jan früher an sein Geld kommen möchte, zum Beispiel nach 3 Jahren?
4. Welche Unterschiede gibt es zwischen einfacher und zusammengesetzter Verzinsung?
5. Was wäre, wenn die Zinssätze jedes Jahr variieren würden?

**Tipp**: Eine regelmäßige Überprüfung von Sparzielen kann helfen, Änderungen bei Zinssätzen oder Lebensumständen rechtzeitig anzupassen.

Berechnen Sie den Betrag, den Jan verwenden kann, wenn er nach vier Jahren noch 10.000,00 € übrig haben möchte. Nach erfolgreicher Produkteinführung kann es sich Jan mittlerweile leisten, Rücklagen zu bilden. Zu den verbliebenen 10.000,00 € zahlt er fortan am Jahresende 6.000,00 € ein. Die jährliche Verzinsung bleibt bei 2,25 %. Wie lautet die Zinseszinsformel?

Learn how to calculate the initial savings required for Jan to have 10,000.00 € after 4 years, with regular yearly deposits of 6,000.00 € and a 2.25% annual interest rate. This problem involves compound interest and is suitable for Grades 10-12.

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