Aby obliczyć $(−3 − 3i)^6$ i przedstawić wynik w postaci algebraicznej, najlepiej użyć postaci wykładniczej liczby zespolonej.

---

Krok 1: Wyznaczenie modułu i argumentu liczby zespolonej

Dla liczby zespolonej $z = -3 - 3i$:

• Moduł:
  $|z| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
• Argument:
  $\arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-3}{-3}\right) = \tan^{-1}(1)$
  Liczba $-3 - 3i$ leży w III ćwiartce, więc:
  $\arg(z) = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$

---

Krok 2: Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Zapisujemy $z = -3 - 3i$ w postaci trygonometrycznej: $z = |z| \cdot \text{cis}(\arg(z)) = 3\sqrt{2} \cdot \text{cis}\left(\frac{5\pi}{4}\right)$ Gdzie $\text{cis}(\theta) = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$.

---

Krok 3: Potęgowanie liczby zespolonej

Wykorzystujemy wzór De Moivre’a:
$z^n = |z|^n \cdot \text{cis}(n \cdot \arg(z))$ Dla $n = 6$:
$z^6 = (3\sqrt{2})^6 \cdot \text{cis}\left(6 \cdot \frac{5\pi}{4}\right)$

1. Obliczamy moduł:
   $(3\sqrt{2})^6 = (3^6)(\sqrt{2})^6 = 729 \cdot 8 = 5832$

2. Obliczamy argument:
   $6 \cdot \frac{5\pi}{4} = \frac{30\pi}{4} = 7\pi \quad (\text{argumenty sumujemy modulo } 2\pi)$
   $7\pi \mod 2\pi = \pi$

Zatem: $z^6 = 5832 \cdot \text{cis}(\pi)$

---

Krok 4: Postać algebraiczna

$\text{cis}(\pi) = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 + i \cdot 0 = -1$ $z^6 = 5832 \cdot (-1) = -5832$

---

Ostateczny wynik:

$(−3 − 3i)^6 = -5832$

Czy chcesz wyjaśnienia któregoś kroku? 😊

---

5 Pytania powiązane:

1. Jak obliczyć argument liczby zespolonej w różnych ćwiartkach układu?
2. Jak działa wzór De Moivre’a?
3. Czym różni się postać algebraiczna od trygonometrycznej liczby zespolonej?
4. Jak szybko wykrywać modulo $2\pi$ dla dużych argumentów?
5. Dlaczego $\text{cis}(\pi) = -1$?

---

Wskazówka:

Podczas potęgowania liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej, argument zawsze sprowadzaj do przedziału $[0, 2\pi)$ dla łatwiejszej interpretacji.