L'exercice nous donne la relation suivante :

$z + \overline{z} = |z|$

où $z$ est un nombre complexe, $\overline{z}$ est son conjugué et $|z|$ est son module. Pour résoudre ce problème, nous allons analyser cette relation.

Soit $z = x + iy$, où $x$ et $y$ sont les coordonnées réelles et imaginaires de $z$ dans le plan complexe. Le conjugué de $z$, $\overline{z}$, est donc :

$\overline{z} = x - iy$

Le module de $z$, $|z|$, est donné par :

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

1. Remplacer dans l'équation donnée :

La relation $z + \overline{z} = |z|$ devient :

$(x + iy) + (x - iy) = \sqrt{x^2 + y^2}$

En simplifiant :

$2x = \sqrt{x^2 + y^2}$

2. Résolution de l'équation :

Pour éliminer la racine carrée, nous élevons les deux côtés au carré :

$(2x)^2 = (\sqrt{x^2 + y^2})^2$

Ce qui donne :

$4x^2 = x^2 + y^2$

En réarrangeant les termes :

$4x^2 - x^2 = y^2$

$3x^2 = y^2$

3. Conclusion :

L'ensemble des points du plan complexe est l'ensemble des points vérifiant l'équation :

$y^2 = 3x^2$

Cela décrit une cône dont l'axe est l'axe des abscisses et dont la pente est déterminée par $\pm \sqrt{3}$. C'est une courbe d'équation cartésienne dans le plan.

Vérification :

Cette relation $y^2 = 3x^2$ est une équation de deux droites passant par l'origine, à savoir :

$y = \pm \sqrt{3}x$

Cela confirme que les points satisfaisant cette équation se trouvent sur deux droites dans le plan complexe.

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Avez-vous besoin de détails supplémentaires ou des clarifications ?

Voici cinq questions pour approfondir ce sujet :

1. Comment interpréter géométriquement cette relation dans le plan complexe ?
2. Que se passe-t-il si l’on remplace $|z|$ par $r$, le rayon dans une représentation polaire ?
3. Comment la représentation paramétrique des nombres complexes est-elle utilisée pour comprendre cette équation ?
4. Quel est le lien entre cette équation et les équations de cercle et d'ellipse dans le plan complexe ?
5. Comment résoudre une relation similaire mais où le module $|z|$ apparaît sous forme carrée ?

Conseil : Il est utile de se rappeler que les conjugués et les modules des nombres complexes ont une interprétation géométrique simple dans le plan complexe : le conjugué correspond à une réflexion par rapport à l'axe réel, et le module est la distance par rapport à l'origine.