Math Problem Statement

Si z1=2+i , calcula z31−3z21+4z1−8 Pregunta 8Seleccione una:

a. −7+3i

b. −7−3i

c. 7−3i

Solution

Dado z1=2+iz_1 = 2 + i, queremos calcular z133z12+4z18z_1^3 - 3z_1^2 + 4z_1 - 8.

Paso 1: Calcular z12z_1^2

z12=(2+i)2=22+2(2)(i)+i2=4+4i+(1)=3+4iz_1^2 = (2 + i)^2 = 2^2 + 2(2)(i) + i^2 = 4 + 4i + (-1) = 3 + 4i

Paso 2: Calcular z13z_1^3

z13=z1z12=(2+i)(3+4i)=2(3+4i)+i(3+4i)=6+8i+3i+4i2z_1^3 = z_1 \cdot z_1^2 = (2 + i)(3 + 4i) = 2(3 + 4i) + i(3 + 4i) = 6 + 8i + 3i + 4i^2 =6+11i+4(1)=6+11i4=2+11i= 6 + 11i + 4(-1) = 6 + 11i - 4 = 2 + 11i

Paso 3: Calcular z133z12+4z18z_1^3 - 3z_1^2 + 4z_1 - 8

Ya tenemos:

z13=2+11i,z12=3+4i,z1=2+iz_1^3 = 2 + 11i, \quad z_1^2 = 3 + 4i, \quad z_1 = 2 + i

Ahora calculamos el resto de la expresión:

z133z12+4z18=(2+11i)3(3+4i)+4(2+i)8z_1^3 - 3z_1^2 + 4z_1 - 8 = (2 + 11i) - 3(3 + 4i) + 4(2 + i) - 8 =(2+11i)(9+12i)+(8+4i)8= (2 + 11i) - (9 + 12i) + (8 + 4i) - 8 =2+11i912i+8+4i8= 2 + 11i - 9 - 12i + 8 + 4i - 8 =(29+88)+(11i12i+4i)= (2 - 9 + 8 - 8) + (11i - 12i + 4i) =7+3i= -7 + 3i

La respuesta correcta es:

7+3i\boxed{-7 + 3i}

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z_1^2 = (2 + i)^2 = 4 + 4i - 1
z_1^3 = (2 + i)(3 + 4i)
z_1^3 - 3z_1^2 + 4z_1 - 8

Theorems

Properties of Complex Numbers
Operations with Complex Numbers

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Grades 10-12