Math Problem Statement

行列代数で、可換なものはありますか？

Solution

行列代数において、一般的に行列の積は 可換ではありません。つまり、行列 AA と BB に対して、通常は AB≠BAAB \neq BA です。しかし、特定の条件下では可換性を持つ行列の組があります。それらを 可換行列 と呼びます。

以下に可換行列の条件や例を挙げます：

1. 対角行列同士

任意の対角行列 AA と BB は可換です。
対角行列とは、主対角以外の要素がすべて 0 の行列です。
例:

a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} c & 0 \\ 0 & d \end{bmatrix}$$ このとき、$$AB = BA$$ となります。 --- ### **2. スカラー行列** スカラー行列（対角成分がすべて同じ値で、他はすべて 0 の行列）は任意の行列と可換です。 例: $$S = \begin{bmatrix} c & 0 \\ 0 & c \end{bmatrix}, \quad A = \text{任意の行列}$$ この場合、$$SA = AS$$ です。 --- ### **3. 同じ固有ベクトルを持つ行列** 行列 $$A$$ と $$B$$ が共通の固有ベクトルを持つ場合、それらは可換となる場合があります。 ただし、この条件は必ずしも十分ではなく、他の制約も関わることがあります。 --- ### **4. $$A$$ と $$B$$ が関数関係にある場合** 例えば、$$B = f(A)$$ という関係が成り立つ場合は可換性が成立します。 例: $$B = A^2$$ であれば、$$AB = BA$$ です。 --- ### **5. 零行列や単位行列** - **零行列 $$O$$**：任意の行列 $$A$$ に対して $$AO = OA = O$$。 - **単位行列 $$I$$**：任意の行列 $$A$$ に対して $$AI = IA = A$$。 --- 行列の積の可換性は一般的ではなく、条件付きで成立することが多いです。このため、行列の可換性を確認する際には、構造や特殊な性質に注目する必要があります。 --- ご質問やより具体的な例が必要ですか？ 次に関連する5つの質問を挙げます： 1. 可換行列の条件が成立しない具体例を知りたいですか？ 2. 固有ベクトルを使った可換性の証明例を見たいですか？ 3. 行列の対角化と可換性の関係を説明しましょうか？ 4. 可換性が成り立つ場合の応用例（物理やグラフ理論など）を見たいですか？ 5. 行列代数における交換子（$$[A, B] = AB - BA$$）の役割を知りたいですか？ **Tip:** 行列の性質を調べる際は、固有値・固有ベクトルや特異値分解（SVD）を活用すると便利です。

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Matrix Algebra
Commutative Property
Diagonal Matrices
Scalar Matrices
Eigenvalues and Eigenvectors

Formulas

Matrix multiplication: AB ≠ BA (in general)
Conditions for commutativity: B = f(A) or common eigenvectors

Theorems

Properties of diagonal and scalar matrices
Commutativity in matrices with common eigenvectors

Suitable Grade Level

Undergraduate

Related Recommendation

Understanding Matrices Commuting in Linear Algebra

Are Symmetric Matrices Always Commutative in Matrix Algebra?

Find All n x n Matrices That Commute with Any n x n Matrix

Matrix Commutativity: True and False Statements on Matrix Multiplication

Finding Commutative Matrices and Matrix Powers in Linear Algebra