Berapa banyak cara yang ada untuk mendistribusikan enam objek yang dapat dibedakan kepada empat kotak yang tidak dapat dibedakan sehingga masing-masing kotak terdiri dari setidaknya satu objek ?

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu mencari jumlah cara untuk mendistribusikan enam objek yang dapat dibedakan ke dalam empat kotak yang tidak dapat dibedakan, dengan syarat bahwa setiap kotak harus memiliki setidaknya satu objek. Ini adalah contoh dari masalah partisi integer yang harus memperhitungkan kotak yang tidak dapat dibedakan.

**Langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah ini:**

1. **Identifikasi Pembatasan**: Kita memiliki 6 objek (yang dapat dibedakan), dan kita ingin membaginya ke dalam 4 kotak (yang tidak dapat dibedakan), dengan syarat setiap kotak memiliki setidaknya satu objek.

2. **Mencari Partisi yang Sesuai**: Kita perlu mencari partisi dari angka 6 menjadi tepat 4 bagian, di mana setiap bagian bernilai 1 atau lebih (karena setiap kotak harus berisi setidaknya satu objek).

3. **Partisi Integer**: Kita akan mencari kombinasi dari partisi integer untuk angka 6 yang menghasilkan empat bagian positif. Partisi yang memenuhi syarat ini adalah:

    - \(1 + 1 + 1 + 3\)
    - \(1 + 1 + 2 + 2\)

   Tidak ada partisi lain untuk angka 6 menjadi empat bagian positif.

4. **Hitung Jumlah Kombinasi**:
    - Untuk partisi \(1 + 1 + 1 + 3\): Pilih 3 objek dari 6 untuk dimasukkan ke dalam satu kotak (yang terbesar), sisanya otomatis akan memiliki 1 objek di setiap kotak yang tersisa.
        \[
        \text{Jumlah cara} = \binom{6}{3} = 20
        \]

    - Untuk partisi \(1 + 1 + 2 + 2\): Pilih 2 objek dari 6 untuk dimasukkan ke dalam satu kotak, lalu pilih 2 dari 4 objek yang tersisa untuk kotak kedua, sisanya akan berada di dua kotak yang tersisa masing-masing berisi 1 objek.
        \[
        \text{Jumlah cara} = \frac{1}{2!} \times \binom{6}{2} \times \binom{4}{2} = \frac{1}{2} \times 15 \times 6 = 45
        \]

    (Dibagi dengan \(2!\) karena dua kotak yang berisi 2 objek tersebut tidak dapat dibedakan.)

5. **Jumlah Total Cara**:
    - Jumlah cara untuk partisi \(1 + 1 + 1 + 3\) = 20
    - Jumlah cara untuk partisi \(1 + 1 + 2 + 2\) = 45

    Total cara untuk mendistribusikan objek:
    \[
    20 + 45 = 65
    \]

**Jawaban**: Ada 65 cara untuk mendistribusikan enam objek yang dapat dibedakan ke empat kotak yang tidak dapat dibedakan sehingga masing-masing kotak terdiri dari setidaknya satu objek.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait untuk memperdalam pemahaman Anda:

1. Bagaimana cara menghitung jumlah cara untuk mendistribusikan tujuh objek yang dapat dibedakan ke dalam tiga kotak yang tidak dapat dibedakan?
2. Apa yang akan berubah jika kotak-kotak tersebut dapat dibedakan?
3. Bagaimana jika ada lima kotak, dan kita masih memiliki enam objek yang dapat dibedakan?
4. Bagaimana cara mendistribusikan objek jika tidak ada batasan bahwa setiap kotak harus memiliki setidaknya satu objek?
5. Bagaimana cara memperhitungkan jika kita memiliki sembilan objek dan empat kotak?

**Tip**: Selalu mulai dengan mengidentifikasi pembatasan yang diberikan dalam masalah sebelum mencoba menghitung jumlah kombinasi atau permutasi.

Berapa banyak cara yang ada untuk mendistribusikan enam objek yang dapat dibedakan kepada empat kotak yang tidak dapat dibedakan sehingga masing-masing kotak terdiri dari setidaknya satu objek?

Discover the combinatorial approach to distributing 6 distinguishable objects into 4 indistinguishable boxes where each box contains at least one object. This problem involves key concepts in combinatorics, such as integer partitions and permutation calculations, making it suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation