Koliki je koeficijent uz x³³ u razvoju potencije binoma (x^3+x^4)^10

Razvoj potencije binoma \((x^3 + x^4)^{10}\) koristi se binomnim teoremom. 

Binomni teorem za izraze oblika \((a + b)^n\) je:
\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]

U ovom slučaju, \((x^3 + x^4)^{10}\) se može proširiti kao:
\[
\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} (x^3)^{10-k} (x^4)^k
\]

Svaki član u ovom izrazu ima oblik:
\[
\binom{10}{k} \cdot x^{3(10-k) + 4k}
\]

Tražimo koeficijent uz \(x^{33}\). Dakle, trebamo naći \(k\) za koji je eksponent uz \(x\) jednak 33:
\[
3(10 - k) + 4k = 33
\]

Pojednostavimo ovaj izraz:
\[
30 - 3k + 4k = 33
\]
\[
30 + k = 33
\]
\[
k = 3
\]

Dakle, \(k = 3\). Kada \(k = 3\), koeficijent je:
\[
\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10 - 3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120
\]

**Odgovor:** Koeficijent uz \(x^{33}\) je \(120\).

Želite li više detalja o binomnom teoremu ili imate dodatna pitanja? 

### Pitanja za proširenje:
1. Kako se binomni teorem primenjuje na izraze višeg stepena?
2. Koji je opšti oblik člana u razvoju potencije binoma?
3. Kako se rešavaju ovakvi problemi kada eksponenti nisu celobrojni?
4. Da li postoji drugi način da se izračuna ovaj koeficijent?
5. Šta se događa kada promenimo redosled članova u izrazu?

**Matematički savet:** Kada rešavate slične probleme, najpre postavite jednadžbu za eksponente i rešite je kako biste identifikovali potrebne članove.

Learn how to find the coefficient of x^33 in the binomial expansion of (x^3 + x^4)^10 using binomial theorem and exponent rules. This advanced algebra problem is suitable for Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation