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En esta formula de cambio de variables cuando realizo la operación de integración. Los limites de integración deben ser exactamente los msmo para la nueva variable en relacion con la original?

No, los límites de integración no necesariamente deben ser exactamente los mismos cuando se cambia de variables en una integral, como en la fórmula que proporcionaste.

### Explicación del cambio de variables en integrales:
Cuando realizas un cambio de variables en una integral, lo que sucede es que tanto la función integrando como los límites de integración pueden cambiar en relación con la nueva variable. Es decir, los nuevos límites de integración deben ajustarse de acuerdo con la transformación que hayas aplicado.

#### Caso de la fórmula:

\[
\int_{\mathbf{p}} f(\mathbf{p}) \, d\mathbf{p} = \int_{\mathbf{u}} f(\mathbf{g}^{-1}(\mathbf{u})) \left| \det\left(\frac{\partial \mathbf{g}}{\partial \mathbf{p}}\right)\right| \, d\mathbf{u}
\]

Aquí:
- \( \mathbf{p} \) es el conjunto de variables originales.
- \( \mathbf{u} = \mathbf{g}(\mathbf{p}) \) representa las nuevas variables después del cambio de coordenadas.

La integral en \( d\mathbf{p} \) se convierte en una integral en \( d\mathbf{u} \), y en este proceso:
1. **La función** \( f(\mathbf{p}) \) se transforma en \( f(\mathbf{g}^{-1}(\mathbf{u})) \).
2. **El diferencial** \( d\mathbf{p} \) se ajusta mediante el determinante jacobiano \( \left| \det\left(\frac{\partial \mathbf{g}}{\partial \mathbf{p}}\right)\right| \), que mide cómo cambian las áreas o volúmenes bajo el cambio de variables.
3. **Los límites de integración** deben cambiar acorde con la transformación \( \mathbf{g}(\mathbf{p}) \), es decir, los límites originales en \( \mathbf{p} \) deben transformarse según la función \( \mathbf{g} \), que determina la relación entre \( \mathbf{p} \) y \( \mathbf{u} \).

### Respuesta directa a tu pregunta:
Los límites de integración en términos de la nueva variable \( \mathbf{u} \) no son necesariamente los mismos que en la variable \( \mathbf{p} \). Debes transformar los límites originales de acuerdo con la relación definida por \( \mathbf{g}(\mathbf{p}) \). En resumen, los nuevos límites dependerán de cómo \( \mathbf{p} \) se mapea a \( \mathbf{u} \) bajo la transformación \( \mathbf{g} \).

### ¿Tienes alguna duda o te gustaría más detalles?

#### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el determinante del jacobiano en el cambio de variables?
2. ¿Cómo se transforman los límites de integración en un cambio de coordenadas polares?
3. ¿Qué pasa cuando el jacobiano tiene un determinante negativo?
4. ¿Existen restricciones en las funciones \( \mathbf{g}(\mathbf{p}) \) que se pueden usar para hacer un cambio de variables?
5. ¿Cómo se aplica este cambio de variables en integrales triples o de dimensiones superiores?

#### Tip: 
Cuando cambias variables en una integral, es crucial verificar que el jacobiano sea no nulo, ya que de lo contrario la transformación no sería válida.

En esta formula de cambio de variables cuando realizo la operación de integración. ¿Los límites de integración deben ser exactamente los mismos para la nueva variable en relación con la original?

Explore the principles of changing variables in integration, focusing on how new variables and limits transform under the formula. This guide is suitable for university-level mathematics students or anyone interested in advanced calculus techniques.

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