Tentukan aturan rantai pada y=⁵√sin⁷(-3x⁴-5x)⁴

Aturan rantai digunakan untuk menghitung turunan dari fungsi yang merupakan komposisi beberapa fungsi. Untuk menentukan turunan dari \( y = \sqrt[5]{\sin^7(-3x^4 - 5x)^4} \), kita dapat menggunakan aturan rantai berulang kali, sesuai dengan struktur komposisi fungsi tersebut.

Misalkan kita definisikan beberapa fungsi perantara:

1. \( u = \sin^7(-3x^4 - 5x)^4 \) (fungsi dalam akar kelima).
2. \( v = \sin(-3x^4 - 5x) \) (fungsi sinus di dalam pangkat tujuh).
3. \( w = -3x^4 - 5x \) (fungsi di dalam sinus).

Kita akan menerapkan aturan rantai untuk menghitung \( \frac{dy}{dx} \) melalui langkah-langkah berikut:

### Langkah 1: Turunan dari fungsi luar \( y = u^{1/5} \).
\[
\frac{dy}{du} = \frac{1}{5} u^{-\frac{4}{5}}
\]

### Langkah 2: Turunan dari \( u = v^7 \).
\[
\frac{du}{dv} = 7v^6
\]

### Langkah 3: Turunan dari \( v = \sin(w)^4 \).
\[
\frac{dv}{dw} = 4 \sin^3(w) \cos(w)
\]

### Langkah 4: Turunan dari \( w = -3x^4 - 5x \).
\[
\frac{dw}{dx} = -12x^3 - 5
\]

### Langkah 5: Menggabungkan semua turunan menggunakan aturan rantai.
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx}
\]

Substitusikan semua turunan:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5} u^{-\frac{4}{5}} \cdot 7v^6 \cdot 4 \sin^3(w) \cos(w) \cdot (-12x^3 - 5)
\]

Kemudian, masukkan kembali nilai \( u \), \( v \), dan \( w \):
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5} \left(\sin^7(-3x^4 - 5x)^4\right)^{-\frac{4}{5}} \cdot 7 \left(\sin(-3x^4 - 5x)\right)^6 \cdot 4 \sin^3(-3x^4 - 5x) \cos(-3x^4 - 5x) \cdot (-12x^3 - 5)
\]

Kita bisa menyederhanakan hasil ini jika diperlukan, tetapi ini sudah merupakan bentuk lengkap dari turunan \( \frac{dy}{dx} \).

Apakah ada yang ingin ditanyakan atau penjelasan lebih lanjut?

1. Bagaimana cara menerapkan aturan rantai pada fungsi lain yang lebih kompleks?
2. Bagaimana cara menentukan turunan fungsi trigonometri yang rumit?
3. Bagaimana cara menyederhanakan turunan fungsi yang rumit seperti ini?
4. Apakah ada metode lain selain aturan rantai untuk mencari turunan komposisi fungsi?
5. Apa itu turunan parsial dan bagaimana menggunakannya dalam konteks aturan rantai?

**Tip:** Untuk menyelesaikan soal yang kompleks, memecah fungsi menjadi beberapa bagian sederhana sangat membantu dalam menerapkan aturan rantai.

Explore how to apply the chain rule to differentiate the function y=⁵√sin⁷(-3x⁴-5x)⁴. This detailed step-by-step solution covers trigonometric functions, the chain rule, and implicit differentiation, ideal for calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation