Math Problem Statement
$\text{用柯西判别法判断正项级数}\sum_{n=1}^\infty\frac{n^n}{3^n\cdot n!}\text{的敛散性}.$
Solution
我们利用柯西判别法来判断正项级数 的敛散性。
柯西判别法
柯西判别法的标准形式如下:
设 为一个正项数列,若:
则:
- 当 时,级数 收敛;
- 当 时,级数 发散;
- 当 时,柯西判别法无法得出结论。
应用柯西判别法
在本题中,令:
我们需要计算 。
[ \sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\frac{n^n}{3^n \cdot n!}} = \frac{n}{3} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n!}} ]
接下来我们分别处理这两个部分。
第一步: 部分
这一部分很简单:
随着 ,它趋向于 。
第二步: 部分
根据斯特林公式, 的近似形式为:
因此,
[ \sqrt[n]{n!} \sim \sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}} \cdot \frac{n}{e} = \frac{n}{e} \cdot \sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}} ]
当 时,,所以:
因此,
第三步:组合两部分
因此,结合前面的结果,我们得到:
第四步:求极限
由于 ,根据柯西判别法,级数 收敛。
结论
根据柯西判别法,正项级数 收敛。
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Series Convergence
Cauchy Root Test
Stirling's Approximation
Formulas
Cauchy Root Test: \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L\)
Stirling's Approximation: \(n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\)
Formula for the series term: \(a_n = \frac{n^n}{3^n \cdot n!}\)
Theorems
Cauchy Root Test
Stirling's Approximation
Suitable Grade Level
Undergraduate
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