$\text{用柯西判别法判断正项级数}\sum_{n=1}^\infty\frac{n^n}{3^n\cdot n!}\text{的敛散性}.$

我们利用**柯西判别法**来判断正项级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{3^n \cdot n!}$ 的敛散性。

### 柯西判别法
柯西判别法的标准形式如下：

设 $\{a_n\}$ 为一个正项数列，若：

\[
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L
\]

则：
- 当 $ L < 1 $ 时，级数 $\sum a_n$ 收敛；
- 当 $ L > 1 $ 时，级数 $\sum a_n$ 发散；
- 当 $ L = 1 $ 时，柯西判别法无法得出结论。

### 应用柯西判别法
在本题中，令：

\[
a_n = \frac{n^n}{3^n \cdot n!}
\]

我们需要计算 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$。

\[
\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\frac{n^n}{3^n \cdot n!}} = \frac{n}{3} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n!}}
\]

接下来我们分别处理这两个部分。

#### 第一步：$\frac{n}{3}$ 部分
这一部分很简单：

\[
\frac{n}{3}
\]

随着 $n \to \infty$，它趋向于 $\infty$。

#### 第二步：$\sqrt[n]{\frac{1}{n!}}$ 部分
根据斯特林公式，$n!$ 的近似形式为：

\[
n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n
\]

因此，

\[
\sqrt[n]{n!} \sim \sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}} \cdot \frac{n}{e} = \frac{n}{e} \cdot \sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}}
\]

当 $n \to \infty$ 时，$\sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}} \to 1$，所以：

\[
\sqrt[n]{n!} \sim \frac{n}{e}
\]

因此，

\[
\sqrt[n]{\frac{1}{n!}} \sim \frac{e}{n}
\]

#### 第三步：组合两部分
因此，结合前面的结果，我们得到：

\[
\sqrt[n]{a_n} \sim \frac{n}{3} \cdot \frac{e}{n} = \frac{e}{3}
\]

#### 第四步：求极限
\[
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \frac{e}{3}
\]

由于 $\frac{e}{3} \approx 0.906 < 1$，根据柯西判别法，级数 **收敛**。

### 结论
根据柯西判别法，正项级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{3^n \cdot n!}$ **收敛**。

用柯西判别法判断正项级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{3^n \cdot n!}$ 的敛散性。

Learn how to apply the Cauchy Root Test to determine the convergence of the series $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{3^n \cdot n!}$. This solution includes a detailed explanation using Stirling's approximation and other key concepts in mathematical analysis. Suitable for undergraduate-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation