La formule empirique donnée par Cauchy pour l'indice de réfraction $n(\lambda)$ est :

$n(\lambda) = C_1 + \frac{C_2}{\lambda^2}$

où :

• $n(\lambda)$ est l'indice de réfraction en fonction de la longueur d'onde $\lambda$ (en nanomètres),
• $C_1$ et $C_2$ sont des constantes à déterminer.

Données :

• $n_a = 1{,}557$ pour $\lambda = 410 \, \text{nm}$,
• $n_b = 1{,}547$ pour $\lambda = 550 \, \text{nm}$.

Étape 1 : Écrire deux équations avec les données connues

Utilisons les deux points pour créer un système d'équations :

1. Pour $\lambda = 410 \, \text{nm}$ et $n_a = 1{,}557$ : $1{,}557 = C_1 + \frac{C_2}{410^2}$

2. Pour $\lambda = 550 \, \text{nm}$ et $n_b = 1{,}547$ : $1{,}547 = C_1 + \frac{C_2}{550^2}$

Étape 2 : Résoudre le système d'équations

Nous allons résoudre ce système pour obtenir $C_1$ et $C_2$. Ensuite, nous utiliserons ces valeurs pour calculer l'indice de réfraction à $\lambda = 610 \, \text{nm}$.

Je vais maintenant résoudre ce système.

Calcul des constantes $C_1$ et $C_2$ :Les constantes pour le quartz sont :

$C_1 = 1{,}5345 \quad \text{et} \quad C_2 = 3783{,}5007$

Étape 3 : Calculer l'indice de réfraction à $\lambda = 610 \, \text{nm}$

Nous utilisons maintenant la formule de Cauchy avec les valeurs de $C_1$ et $C_2$ pour déterminer l'indice de réfraction à $\lambda = 610 \, \text{nm}$.

$n(610) = C_1 + \frac{C_2}{610^2}$

Je vais calculer cette valeur.L'indice de réfraction du quartz à $\lambda = 610 \, \text{nm}$ est approximativement :

$n(610) = 1{,}5447$

Récapitulatif :

• $C_1 = 1{,}5345$
• $C_2 = 3783{,}5007$
• $n(610 \, \text{nm}) = 1{,}5447$

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions relatives à ce problème :

1. Comment Cauchy a-t-il développé cette formule empirique ?
2. Pourquoi l'indice de réfraction varie-t-il avec la longueur d'onde ?
3. Comment la dispersion de la lumière est-elle liée à l'indice de réfraction ?
4. Quels sont les autres matériaux avec un indice de réfraction mesurable via cette méthode ?
5. Comment cette formule pourrait-elle être modifiée pour des longueurs d'onde hors du domaine visible ?

Astuce : Dans certains matériaux, l'indice de réfraction peut également varier avec la température, un phénomène à prendre en compte dans les mesures précises.