Pour le domaine des radiations visibles, le mathématicien et physicien
français A. L. Cauchy (1789-1857) a déterminé une formule empirique pour 𝑛(𝜆) :
𝑛(𝜆) = C1 + C2 / 𝜆²
Un cristal de quartz a un indice de réfraction de 𝑛𝑎 = 1,557 et de 𝑛𝑏 = 1,547 à 410 nm
et 550 nm respectivement. Evaluer les constantes 𝐶1 et 𝐶2 pour le quartz et donner la
valeur de l’indice du quartz à 610 nm.

La formule empirique donnée par Cauchy pour l'indice de réfraction \( n(\lambda) \) est :

\[
n(\lambda) = C_1 + \frac{C_2}{\lambda^2}
\]

où :
- \( n(\lambda) \) est l'indice de réfraction en fonction de la longueur d'onde \( \lambda \) (en nanomètres),
- \( C_1 \) et \( C_2 \) sont des constantes à déterminer.

### Données :
- \( n_a = 1{,}557 \) pour \( \lambda = 410 \, \text{nm} \),
- \( n_b = 1{,}547 \) pour \( \lambda = 550 \, \text{nm} \).

#### Étape 1 : Écrire deux équations avec les données connues

Utilisons les deux points pour créer un système d'équations :

1. Pour \( \lambda = 410 \, \text{nm} \) et \( n_a = 1{,}557 \) :
   \[
   1{,}557 = C_1 + \frac{C_2}{410^2}
   \]

2. Pour \( \lambda = 550 \, \text{nm} \) et \( n_b = 1{,}547 \) :
   \[
   1{,}547 = C_1 + \frac{C_2}{550^2}
   \]

#### Étape 2 : Résoudre le système d'équations

Nous allons résoudre ce système pour obtenir \( C_1 \) et \( C_2 \). Ensuite, nous utiliserons ces valeurs pour calculer l'indice de réfraction à \( \lambda = 610 \, \text{nm} \).

Je vais maintenant résoudre ce système.

#### Calcul des constantes \( C_1 \) et \( C_2 \) :Les constantes pour le quartz sont :

\[
C_1 = 1{,}5345 \quad \text{et} \quad C_2 = 3783{,}5007
\]

#### Étape 3 : Calculer l'indice de réfraction à \( \lambda = 610 \, \text{nm} \)

Nous utilisons maintenant la formule de Cauchy avec les valeurs de \( C_1 \) et \( C_2 \) pour déterminer l'indice de réfraction à \( \lambda = 610 \, \text{nm} \).

\[
n(610) = C_1 + \frac{C_2}{610^2}
\]

Je vais calculer cette valeur.L'indice de réfraction du quartz à \( \lambda = 610 \, \text{nm} \) est approximativement :

\[
n(610) = 1{,}5447
\]

### Récapitulatif :
- \( C_1 = 1{,}5345 \)
- \( C_2 = 3783{,}5007 \)
- \( n(610 \, \text{nm}) = 1{,}5447 \)

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions relatives à ce problème :
1. Comment Cauchy a-t-il développé cette formule empirique ?
2. Pourquoi l'indice de réfraction varie-t-il avec la longueur d'onde ?
3. Comment la dispersion de la lumière est-elle liée à l'indice de réfraction ?
4. Quels sont les autres matériaux avec un indice de réfraction mesurable via cette méthode ?
5. Comment cette formule pourrait-elle être modifiée pour des longueurs d'onde hors du domaine visible ?

**Astuce :** Dans certains matériaux, l'indice de réfraction peut également varier avec la température, un phénomène à prendre en compte dans les mesures précises.

Pour le domaine des radiations visibles, le mathématicien et physicien français A. L. Cauchy (1789-1857) a déterminé une formule empirique pour 𝑛(𝜆) : 𝑛(𝜆) = C1 + C2 / 𝜆². Un cristal de quartz a un indice de réfraction de 𝑛𝑎 = 1,557 et de 𝑛𝑏 = 1,547 à 410 nm et 550 nm respectivement. Evaluer les constantes 𝐶1 et 𝐶2 pour le quartz et donner la valeur de l’indice du quartz à 610 nm.

Explore how to calculate the constants C1 and C2 for quartz using Cauchy's empirical formula for refractive index. Given values of n(λ) at 410 nm and 550 nm, find the refractive index at 610 nm. This tutorial covers the use of Cauchy's formula in optics for undergraduate physics students.

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