Math Problem Statement

Déterminer un système d'équations cartésiennes et une représentation paramétrique de la droite D passant par A(0,-1,1) et parallèle à l'axe des z

Solution

Pour déterminer l'équation cartésienne et une représentation paramétrique de la droite DD passant par le point A(0,1,1)A(0, -1, 1) et parallèle à l'axe des zz, nous procédons comme suit :

Représentation paramétrique

Étant donné que la droite est parallèle à l'axe zz, son vecteur directeur peut être v=(0,0,1)\vec{v} = (0, 0, 1). La représentation paramétrique d'une droite se fait à partir d'un point et d'un vecteur directeur. Donc, la représentation paramétrique de DD est :

x = 0, \\ y = -1, \\ z = 1 + t, \end{cases}$$ où $$t$$ est un paramètre réel. ### Équations cartésiennes Pour obtenir les équations cartésiennes de la droite, nous devons éliminer le paramètre $$t$$ des équations paramétriques. À partir de la paramétrisation ci-dessus, on observe que : - $$x = 0$$, donc la droite se trouve dans le plan $$x = 0$$. - $$y = -1$$, donc la droite se trouve aussi dans le plan $$y = -1$$. Ainsi, les équations cartésiennes de la droite $$D$$ sont : $$\begin{cases} x = 0, \\ y = -1. \end{cases}$$ Tout point $$(0, -1, z)$$ où $$z$$ est un réel quelconque appartient à la droite, ce qui correspond au fait que la droite est parallèle à l'axe des $$z$$.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Analytical Geometry
Parametric Equations
Cartesian Equations

Formulas

Parametric representation of a line: x = x₀ + t·vx, y = y₀ + t·vy, z = z₀ + t·vz
Cartesian equations derived from parametric representation

Theorems

Concept of direction vectors in 3D space

Suitable Grade Level

Grades 11-12 or introductory university level