Calcule la capacitancia de un capacitor cilíndrico largo, que tiene un
radio ra y densidad lineal de carga +λ. Está rodeado por una coraza
conductora cilíndrica coaxial con radio interior rb y densidad lineal de
carga −λ. Calcule la capacitancia por unidad de longitud para este capacitor, suponiendo que hay vacío en el espacio entre los cilindros

Para calcular la capacitancia por unidad de longitud de un capacitor cilíndrico coaxial, necesitamos aplicar las leyes de electrostática en el sistema descrito, donde tenemos un cilindro de radio \( r_a \) con carga lineal \( +\lambda \), rodeado por un cilindro coaxial de radio \( r_b \) con carga lineal \( -\lambda \), y con vacío entre los cilindros.

### 1. **Campo eléctrico entre los cilindros**:

La simetría del problema sugiere que el campo eléctrico \( \mathbf{E} \) solo depende de la distancia radial \( r \) desde el eje central, y está dirigido radialmente. Podemos usar la **ley de Gauss** para encontrar el campo eléctrico entre los cilindros, es decir, para \( r_a < r < r_b \).

La ley de Gauss para una superficie cilíndrica de radio \( r \) y longitud \( L \) nos dice que:

\[
\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}
\]

Donde:
- \( \mathbf{E} \) es el campo eléctrico.
- \( d\mathbf{A} \) es el área diferencial, que para una superficie cilíndrica es \( dA = 2\pi r L \).
- \( q_{\text{enc}} \) es la carga encerrada, que es \( \lambda L \).

Usando esta fórmula:

\[
E(2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}
\]

De aquí, despejamos el campo eléctrico:

\[
E(r) = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}
\]

Este es el campo eléctrico radial entre los cilindros, es decir, para \( r_a < r < r_b \).

### 2. **Diferencia de potencial**:

La diferencia de potencial \( V \) entre los dos cilindros (entre \( r_a \) y \( r_b \)) es:

\[
V = - \int_{r_a}^{r_b} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}
\]

Sustituyendo el campo eléctrico \( E(r) \):

\[
V = - \int_{r_a}^{r_b} \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r} dr
\]

Resolvemos la integral:

\[
V = - \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \int_{r_a}^{r_b} \frac{1}{r} dr = - \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \left[ \ln\left( \frac{r_b}{r_a} \right) \right]
\]

La diferencia de potencial es entonces:

\[
V = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \ln\left( \frac{r_b}{r_a} \right)
\]

### 3. **Capacitancia por unidad de longitud**:

La capacitancia \( C \) se define como la carga dividida por la diferencia de potencial, es decir:

\[
C = \frac{\text{carga}}{\text{diferencia de potencial}} = \frac{\lambda}{V}
\]

Sustituyendo \( V \):

\[
C = \frac{\lambda}{\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \ln\left( \frac{r_b}{r_a} \right)}
\]

Simplificando:

\[
C = \frac{2\pi \varepsilon_0}{\ln\left( \frac{r_b}{r_a} \right)}
\]

Este es el valor de la capacitancia por unidad de longitud del capacitor cilíndrico coaxial.

### Resumen de la fórmula:

La **capacitancia por unidad de longitud** de un capacitor cilíndrico coaxial, con vacío entre los cilindros, es:

\[
C = \frac{2\pi \varepsilon_0}{\ln\left( \frac{r_b}{r_a} \right)}
\]

donde:
- \( r_a \) es el radio del cilindro interno,
- \( r_b \) es el radio del cilindro externo,
- \( \varepsilon_0 \) es la permitividad del vacío.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda sobre los pasos?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula la capacitancia de un capacitor esférico?
2. ¿Cómo afecta la presencia de un dieléctrico en la capacitancia?
3. ¿Cuál es la energía almacenada en un capacitor cilíndrico?
4. ¿Cómo varía el campo eléctrico fuera del capacitor cilíndrico?
5. ¿Qué ocurre si el cilindro externo no es conductor?

### Tip:  
La constante \( \varepsilon_0 \) es fundamental en problemas de electrostática y tiene un valor aproximado de \( 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/\text{Nm}^2 \).

Calcule la capacitancia de un capacitor cilíndrico largo, que tiene un radio ra y densidad lineal de carga +λ. Está rodeado por una coraza conductora cilíndrica coaxial con radio interior rb y densidad lineal de carga −λ. Calcule la capacitancia por unidad de longitud para este capacitor, suponiendo que hay vacío en el espacio entre los cilindros.

Aprende cómo calcular la capacitancia por unidad de longitud de un capacitor cilíndrico coaxial con vacío entre los cilindros. Este problema aborda conceptos de electrostática, ley de Gauss y diferencia de potencial, utilizando fórmulas clave para un sistema cilíndrico con densidades de carga +λ y -λ. Apto para estudiantes de física de nivel universitario.

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