mettre à la forme canonique sans utiliser le discriminant et expliquer chaque etape : 3x²+x+4

Pour mettre l'expression \( 3x^2 + x + 4 \) sous forme canonique sans utiliser le discriminant, on va suivre les étapes suivantes :

### Étape 1 : Factoriser le coefficient du terme en \( x^2 \)
On commence par factoriser le coefficient de \( x^2 \), ici 3, dans les deux premiers termes de l'expression :

\[
3x^2 + x + 4 = 3\left(x^2 + \frac{1}{3}x\right) + 4
\]

### Étape 2 : Compléter le carré
Maintenant, on complète le carré à l'intérieur des parenthèses. Pour cela, on prend le coefficient de \( x \), qui est \( \frac{1}{3} \), et on divise par 2, puis on élève au carré :

\[
\left( \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \right)^2 = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}
\]

On ajoute et on soustrait \( \frac{1}{36} \) à l'intérieur des parenthèses pour ne pas modifier l'expression :

\[
3\left(x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} - \frac{1}{36}\right) + 4
\]

### Étape 3 : Regrouper les termes
Les trois premiers termes forment un carré parfait. On peut les factoriser :

\[
3\left( \left(x + \frac{1}{6}\right)^2 - \frac{1}{36} \right) + 4
\]

### Étape 4 : Simplifier l'expression
Ensuite, on distribue le 3 sur les termes à l'intérieur des parenthèses :

\[
3\left(x + \frac{1}{6}\right)^2 - 3 \times \frac{1}{36} + 4 = 3\left(x + \frac{1}{6}\right)^2 - \frac{1}{12} + 4
\]

### Étape 5 : Simplifier les termes constants
Enfin, on simplifie les termes constants :

\[
-\frac{1}{12} + 4 = \frac{-1 + 48}{12} = \frac{47}{12}
\]

Donc, l'expression finale sous forme canonique est :

\[
3\left(x + \frac{1}{6}\right)^2 + \frac{47}{12}
\]

---

Cette forme canonique permet d'identifier directement le sommet de la parabole donnée par cette équation quadratique.

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

### 5 questions relatives :
1. Comment retrouver le sommet d'une parabole à partir de sa forme canonique ?
2. Pourquoi évite-t-on d'utiliser le discriminant dans cette méthode ?
3. Quelle est la signification géométrique de la forme canonique d'une équation quadratique ?
4. Peut-on appliquer cette méthode pour toute équation quadratique ?
5. Comment cette méthode se compare-t-elle avec la méthode de résolution par le discriminant ?

### Un conseil :
Lorsque vous complétez le carré, faites attention à bien conserver l'équilibre de l'équation en ajoutant et en soustrayant le même terme.

Learn how to transform the quadratic equation 3x² + x + 4 into its canonical form without using the discriminant. This step-by-step guide covers algebraic methods such as completing the square, suitable for high school students in Grades 10-12.

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