Ejemplo: La constante de rapidez de una reacción de primer orden es 3.46 x 10-2s -1a 298 °K. ;Cuál es la constante de rapidez a 350 °K si la energía de activación para  la reacción es de 50.2 kJ/mol? y mustra los pasos

Para resolver esta pregunta, necesitamos utilizar la **ecuación de Arrhenius** y su forma derivada conocida como la **ecuación de Arrhenius linealizada**, que nos permite comparar las constantes de rapidez a dos temperaturas distintas.

La **ecuación de Arrhenius** es:

\[
k = A \cdot e^{\frac{-E_a}{R \cdot T}}
\]

Donde:
- \(k\) es la constante de rapidez.
- \(A\) es el factor de frecuencia (pre-exponencial).
- \(E_a\) es la energía de activación (en joules por mol).
- \(R\) es la constante de los gases ideales (8.314 J/mol·K).
- \(T\) es la temperatura en kelvin (K).

Para resolver este problema, vamos a usar la **ecuación de Arrhenius en su forma logarítmica**, que nos relaciona las constantes de rapidez a dos temperaturas diferentes:

\[
\ln \left( \frac{k_2}{k_1} \right) = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)
\]

### Datos proporcionados:
- \(k_1 = 3.46 \times 10^{-2} \, \text{s}^{-1}\) a \(T_1 = 298 \, K\)
- \(T_2 = 350 \, K\)
- \(E_a = 50.2 \, \text{kJ/mol} = 50,200 \, \text{J/mol}\) (convertimos a J/mol para que las unidades sean consistentes).
- \(R = 8.314 \, \text{J/mol·K}\)

### Paso 1: Aplicar la ecuación de Arrhenius

Sustituimos los valores en la ecuación de Arrhenius:

\[
\ln \left( \frac{k_2}{3.46 \times 10^{-2}} \right) = \frac{50,200}{8.314} \left( \frac{1}{298} - \frac{1}{350} \right)
\]

### Paso 2: Calcular los términos

Primero calculamos el factor \( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \):

\[
\frac{1}{298} = 0.003356 \, \text{K}^{-1}
\]
\[
\frac{1}{350} = 0.002857 \, \text{K}^{-1}
\]
\[
0.003356 - 0.002857 = 0.000499 \, \text{K}^{-1}
\]

Luego calculamos el exponente de la ecuación:

\[
\frac{50,200}{8.314} = 6039.8
\]

Multiplicamos este valor por la diferencia de temperaturas:

\[
6039.8 \times 0.000499 = 3.014
\]

### Paso 3: Resolver para \( k_2 \)

\[
\ln \left( \frac{k_2}{3.46 \times 10^{-2}} \right) = 3.014
\]

Para despejar \(k_2\), aplicamos la exponencial a ambos lados de la ecuación:

\[
\frac{k_2}{3.46 \times 10^{-2}} = e^{3.014} = 20.37
\]

Multiplicamos ambos lados por \(3.46 \times 10^{-2}\):

\[
k_2 = 20.37 \times 3.46 \times 10^{-2}
\]
\[
k_2 \approx 0.705 \, \text{s}^{-1}
\]

### Resultado final:

La constante de rapidez a 350 K es aproximadamente \( k_2 = 0.705 \, \text{s}^{-1} \).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo influye la energía de activación en la velocidad de reacción?
2. ¿Qué ocurre si se incrementa la temperatura en una reacción de primer orden?
3. ¿Cómo cambia la ecuación de Arrhenius para reacciones de segundo orden?
4. ¿Qué otros métodos se pueden usar para determinar la energía de activación?
5. ¿Qué sucede si \( E_a \) es muy bajo o muy alto para una reacción?

### Tip:
Al calcular reacciones químicas, es fundamental asegurarse de que las unidades estén correctamente convertidas, especialmente al trabajar con energía y temperaturas.

Ejemplo: La constante de rapidez de una reacción de primer orden es 3.46 x 10-2s -1a 298 °K. ¿Cuál es la constante de rapidez a 350 °K si la energía de activación para la reacción es de 50.2 kJ/mol? y muestra los pasos

Aprende cómo calcular la constante de rapidez a 350 K para una reacción de primer orden utilizando la ecuación de Arrhenius. Datos proporcionados incluyen k1 = 3.46 × 10^-2 s^-1 a 298 K, una energía de activación de 50.2 kJ/mol y la constante de los gases R = 8.314 J/mol·K. Este problema cubre conceptos fundamentales de cinética química y funciones exponenciales.

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