Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung $(\nabla \phi \cdot \mathbf{A}) \times \mathbf{B}$. Mari kita lakukan langkah-langkahnya.

Langkah 1: Hitung Gradien $\nabla \phi$

Fungsi $\phi$ diberikan sebagai: $\phi = 2x^2 + yz$

Gradien $\nabla \phi$ dihitung sebagai: $\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)$

Menghitung setiap komponen:

• $\frac{\partial \phi}{\partial x} = 4x$
• $\frac{\partial \phi}{\partial y} = z$
• $\frac{\partial \phi}{\partial z} = y$

Maka, $\nabla \phi = 4x \mathbf{i} + z \mathbf{j} + y \mathbf{k}$

Langkah 2: Hitung $\nabla \phi \cdot \mathbf{A}$

Vektor $\mathbf{A}$ adalah: $\mathbf{A} = x^2 z \mathbf{i} + y z^3 \mathbf{j} - 3xy \mathbf{k}$

Maka, dot product $\nabla \phi \cdot \mathbf{A}$ adalah: $\nabla \phi \cdot \mathbf{A} = (4x)(x^2 z) + (z)(y z^3) + (y)(-3xy)$ $= 4x^3 z + yz^4 - 3xy^2$

Langkah 3: Hitung $(\nabla \phi \cdot \mathbf{A}) \mathbf{1}$

Kita mendapatkan $\nabla \phi \cdot \mathbf{A}$ sebagai skalar. Jadi kita bisa menyebutnya: $S = 4x^3 z + yz^4 - 3xy^2$

Langkah 4: Hitung $(S \mathbf{1}) \times \mathbf{B}$

Vektor $\mathbf{B}$ adalah: $\mathbf{B} = y^2 \mathbf{i} - yz \mathbf{j} + 2x \mathbf{k}$

Jadi kita akan menghitung: $S \mathbf{1} = (S, 0, 0) = (4x^3 z + yz^4 - 3xy^2, 0, 0)$

Kemudian, kita hitung cross product:

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4x^3 z + yz^4 - 3xy^2 & 0 & 0 \\ y^2 & -yz & 2x \end{vmatrix}$$ ### Langkah 5: Hitung Determinan Determinant: $$= \mathbf{i} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -yz & 2x \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 4x^3 z + yz^4 - 3xy^2 & 0 \\ y^2 & 2x \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 4x^3 z + yz^4 - 3xy^2 & 0 \\ y^2 & -yz \end{vmatrix}$$ Dari sini kita dapatkan: $$= \mathbf{i} (0) - \mathbf{j} \left( (4x^3 z + yz^4 - 3xy^2)(2x) \right) + \mathbf{k} \left( (4x^3 z + yz^4 - 3xy^2)(-yz) \right)$$ $$= -\mathbf{j} \left( 2x(4x^3 z + yz^4 - 3xy^2) \right) + \mathbf{k} \left( -yz(4x^3 z + yz^4 - 3xy^2) \right)$$ ### Hasil Akhir Jadi, hasil dari $$(\nabla \phi \cdot \mathbf{A}) \times \mathbf{B}$$ adalah: $$-\mathbf{j} \left( 2x(4x^3 z + yz^4 - 3xy^2) \right) + \mathbf{k} \left( -yz(4x^3 z + yz^4 - 3xy^2) \right)$$ Apakah Anda ingin detail lebih lanjut tentang langkah-langkah ini atau memiliki pertanyaan lain? Berikut beberapa pertanyaan tambahan yang mungkin menarik: 1. Apa peran setiap komponen dalam vektor dalam konteks fisika? 2. Bagaimana gradien mempengaruhi arah dan besar vektor? 3. Apakah ada aplikasi praktis untuk operasi ini dalam teknik atau fisika? 4. Bagaimana cara memvisualisasikan vektor hasil? 5. Apa yang terjadi jika kita mengganti fungsi $$\phi$$ dengan fungsi lain? **Tip:** Selalu periksa unit dan dimensi ketika bekerja dengan vektor dalam aplikasi fisika!