برای حل این مسئله، ابتدا از فرمول‌هایی استفاده می‌کنیم که به ویژگی‌های فنر و امواج مرتبط هستند. به طور خاص، با توجه به اطلاعات داده شده، باید بدانیم که چگونه جرم و نیروی کششی به بسامد و طول موج امواج ارتعاشی در فنر مربوط می‌شوند.

1. بسامد ارتعاشی:

برای محاسبه طول فنر، ابتدا از رابطه‌ای که بین نیرو، جرم و بسامد موجود است، استفاده می‌کنیم.

فرمول مربوط به بسامد ارتعاشی $f$ یک فنر به شکل زیر است:

$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$

که در آن:

• $f$ بسامد ارتعاشی (که برابر با 8 هرتز است)
• $k$ ثابت فنر
• $m$ جرم جسم (که برابر با 0.5 کیلوگرم است)

2. محاسبه ثابت فنر $k$:

برای حل معادله فوق، ابتدا ثابت فنر $k$ را پیدا می‌کنیم. از معادله می‌توانیم $k$ را به دست آوریم:

$k = (2\pi f)^2 m$

حالا مقادیر $f = 8$ هرتز و $m = 0.5 \, \text{kg}$ را جایگذاری می‌کنیم:

$k = (2\pi \times 8)^2 \times 0.5$

حساب می‌کنیم:

$k = (16\pi)^2 \times 0.5$

$k = 256\pi^2 \times 0.5 \approx 128\pi^2 \approx 128 \times 9.87 \approx 1263.36 \, \text{N/m}$

3. محاسبه طول فنر:

برای اینکه طول فنر را به دست آوریم، از رابطه‌ای که بین نیروی کششی $F$ و ثابت فنر $k$ وجود دارد، استفاده می‌کنیم. این رابطه به شکل زیر است:

$F = k \Delta L$

که در آن:

• $F$ نیروی کششی (که برابر با 16 نیوتن است)
• $k$ ثابت فنر (که قبلاً محاسبه کردیم)
• $\Delta L$ تغییر طول فنر (که همان طول فنر است)

از این معادله می‌توانیم طول فنر را به دست آوریم:

$\Delta L = \frac{F}{k}$

با جایگذاری مقادیر:

$\Delta L = \frac{16}{1263.36} \approx 0.01265 \, \text{m}$

که معادل با 1.265 سانتی‌متر است.

نتیجه‌گیری:

طول فنر برابر با $1.265 \, \text{cm}$ است.

---

آیا توضیحات بیشتری نیاز دارید یا سوال دیگری دارید؟

سوالات مرتبط:

1. چگونه ثابت فنر با استفاده از نیروی کششی و تغییر طول محاسبه می‌شود؟
2. آیا تغییر طول فنر در نتیجه نیرو به صورت خطی است؟
3. چه رابطه‌ای بین طول موج و بسامد امواج در یک فنر وجود دارد؟
4. چگونه می‌توان برای سیستم‌های دیگر (مثل سیم یا طناب) ثابت مشابه $k$ را محاسبه کرد؟
5. آیا با افزایش جرم، بسامد سیستم تغییر خواهد کرد؟

نکته: برای سیستم‌هایی که تحت تاثیر نیروهای کششی قرار دارند، ثابت فنر نقش مهمی در تعیین ویژگی‌های ارتعاشی و نوسانی سیستم دارد.