Để giải quyết bài toán, ta cần tính xác suất của các biến cố trong các câu hỏi a và b. Cùng phân tích từng câu hỏi:

Bài toán:

Có một chiếc hộp chứa 37 quả bóng, mỗi quả bóng được ghi một trong các số sau: $1, 2, 3, \ldots, 37$. Ta cần tính xác suất của hai biến cố được yêu cầu.

a) “Số xuất hiện trên quả bóng được lấy là số khi chia cho 5 và 7 đều dư 3”.

Giải:

Ta cần tìm các số trong tập hợp $\{1, 2, 3, \dots, 37\}$ sao cho:

• $x \mod 5 = 3$
• $x \mod 7 = 3$

Để tìm các số thỏa mãn cả hai điều kiện trên, ta giải hệ phương trình đồng dư sau:

$x \equiv 3 \mod 5$ $x \equiv 3 \mod 7$

Phương pháp giải là tìm số $x$ thỏa mãn điều kiện đồng thời chia hết cho 5 và 7, với $x \equiv 3$ đối với cả hai số. Thực hiện theo phương pháp tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 5 và 7:

• Bởi vì 5 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau, ta có BCNN(5, 7) = 35.
• Vậy, ta cần tìm các số có dạng $x = 35k + 3$, với $k$ là số nguyên.

Xét các giá trị của $k$ sao cho $x = 35k + 3$ nằm trong tập hợp $\{1, 2, 3, \dots, 37\}$.

• Khi $k = 0$, $x = 35(0) + 3 = 3$.
• Khi $k = 1$, $x = 35(1) + 3 = 38$ (không thỏa mãn vì lớn hơn 37).

Vậy, chỉ có $x = 3$ là số duy nhất thỏa mãn cả hai điều kiện.

Do đó, chỉ có 1 quả bóng thỏa mãn, và xác suất là:

$P = \frac{1}{37}$

b) “Số xuất hiện trên quả bóng được lấy là số khi chia cho 7 dư 1 và chia cho 13 dư 2”.

Giải:

Ta cần tìm các số trong tập hợp $\{1, 2, 3, \dots, 37\}$ sao cho:

• $x \mod 7 = 1$
• $x \mod 13 = 2$

Để giải bài toán này, ta cũng sẽ giải hệ phương trình đồng dư:

$x \equiv 1 \mod 7$ $x \equiv 2 \mod 13$

Ta sử dụng phương pháp giải hệ phương trình đồng dư (phương pháp đồng dư Trung Hoa). Trước tiên, ta tìm các số thỏa mãn $x \equiv 1 \mod 7$, có dạng:

$x = 7k + 1$

Thay vào điều kiện $x \equiv 2 \mod 13$:

$7k + 1 \equiv 2 \mod 13$

Suy ra:

$7k \equiv 1 \mod 13$

Giải phương trình này, ta tìm được rằng nghịch đảo của 7 modulo 13 là 2 (vì $7 \times 2 = 14 \equiv 1 \mod 13$). Nhân hai vế của phương trình $7k \equiv 1 \mod 13$ với 2:

$k \equiv 2 \mod 13$

Vậy $k = 13m + 2$ với $m$ là số nguyên. Thay vào biểu thức $x = 7k + 1$:

$x = 7(13m + 2) + 1 = 91m + 15$

Do đó, các giá trị của $x$ có dạng $x = 91m + 15$. Xét các giá trị của $m$ sao cho $x \leq 37$:

• Khi $m = 0$, $x = 91(0) + 15 = 15$.
• Khi $m = 1$, $x = 91(1) + 15 = 106$ (không thỏa mãn vì lớn hơn 37).

Vậy, chỉ có $x = 15$ là giá trị duy nhất thỏa mãn.

Do đó, chỉ có 1 quả bóng thỏa mãn, và xác suất là:

$P = \frac{1}{37}$

Tổng kết:

• Xác suất của biến cố a là $\frac{1}{37}$.
• Xác suất của biến cố b là $\frac{1}{37}$.

---

Bạn có cần giải thích chi tiết hơn về bất kỳ bước nào trong quá trình giải bài toán không?

Dưới đây là một số câu hỏi liên quan để bạn tham khảo thêm:

1. Làm sao để áp dụng định lý đồng dư Trung Hoa trong các bài toán tương tự?
2. Phương pháp giải đồng dư tuyến tính là gì và làm sao để sử dụng nó hiệu quả?
3. Tại sao lại sử dụng BCNN khi giải bài toán đồng dư?
4. Làm thế nào để tính xác suất trong các bài toán xác suất với các điều kiện đồng dư?
5. Làm thế nào để mở rộng bài toán này với các số lớn hơn 37?

Mẹo: Khi gặp các bài toán đồng dư phức tạp, hãy luôn kiểm tra các bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các số có liên quan để giảm thiểu số bước cần phải tính toán.