a α el ´angulo que forman los vectores unitarios a y b,
donde 0 ≤ α ≤ π.
a) Expresa |a − b| y |a + b| en funci´on de α.
2

b) A partir de lo anterior, determina para qu´e valor de cos α se cumple que
|a + b| = 3|a − b|

Dado que \( a \) y \( b \) son vectores unitarios, tenemos que su magnitud es 1, es decir:  
\[
|a| = |b| = 1
\]

### **Parte (a)**: Expresión de \( |a - b| \) y \( |a + b| \) en función de \( \alpha \)

La norma de la diferencia y suma de vectores se obtiene mediante la fórmula:

\[
|a \pm b| = \sqrt{(a \pm b) \cdot (a \pm b)}
\]

Usando la propiedad del producto punto:

\[
a \cdot b = |a||b| \cos \alpha = \cos \alpha
\]

Calculamos cada magnitud:

1. **Para \( |a - b| \)**:

\[
|a - b|^2 = (a - b) \cdot (a - b)
\]

Expandiendo:

\[
= a \cdot a - 2 a \cdot b + b \cdot b
\]

\[
= 1 - 2\cos \alpha + 1 = 2(1 - \cos \alpha)
\]

\[
|a - b| = \sqrt{2(1 - \cos \alpha)}
\]

2. **Para \( |a + b| \)**:

\[
|a + b|^2 = (a + b) \cdot (a + b)
\]

\[
= a \cdot a + 2 a \cdot b + b \cdot b
\]

\[
= 1 + 2\cos \alpha + 1 = 2(1 + \cos \alpha)
\]

\[
|a + b| = \sqrt{2(1 + \cos \alpha)}
\]

---

### **Parte (b)**: Determinar \( \cos \alpha \) cuando \( |a + b| = 3|a - b| \)

De la ecuación dada:

\[
\sqrt{2(1 + \cos \alpha)} = 3 \sqrt{2(1 - \cos \alpha)}
\]

Elevamos al cuadrado:

\[
2(1 + \cos \alpha) = 9 \cdot 2(1 - \cos \alpha)
\]

\[
1 + \cos \alpha = 9(1 - \cos \alpha)
\]

\[
1 + \cos \alpha = 9 - 9 \cos \alpha
\]

\[
1 + 9 \cos \alpha + \cos \alpha = 9
\]

\[
10 \cos \alpha = 8
\]

\[
\cos \alpha = \frac{4}{5}
\]

Por lo tanto, el valor de \( \cos \alpha \) que satisface la condición es:

\[
\frac{4}{5}
\]

---

### **¿Quieres más detalles o tienes preguntas?**  

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula el producto punto de dos vectores en términos de sus componentes?
2. ¿Por qué los vectores unitarios tienen magnitud 1?
3. ¿Cómo se relaciona el ángulo \( \alpha \) con la proyección de un vector sobre otro?
4. ¿Qué interpretación geométrica tienen los resultados obtenidos?
5. ¿Cómo se usa la desigualdad triangular en la suma y diferencia de vectores?

**Tip:** Cuando trabajes con vectores unitarios, el producto punto entre ellos es simplemente \( \cos \alpha \), lo que simplifica muchos cálculos.

a α el ángulo que forman los vectores unitarios a y b, donde 0 ≤ α ≤ π. a) Expresa |a − b| y |a + b| en función de α. b) A partir de lo anterior, determina para qué valor de cos α se cumple que |a + b| = 3|a − b|.

This problem involves calculating the magnitudes of vector sums and differences, as well as determining the specific cosine value for a given condition. Learn how to express |a - b| and |a + b| in terms of the angle α, and solve for cos(α) when the condition |a + b| = 3|a - b| holds true. Suitable for students in Grades 11-12 studying vectors and trigonometry.

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