Dado que $a$ y $b$ son vectores unitarios, tenemos que su magnitud es 1, es decir:
$|a| = |b| = 1$

Parte (a): Expresión de $|a - b|$ y $|a + b|$ en función de $\alpha$

La norma de la diferencia y suma de vectores se obtiene mediante la fórmula:

$|a \pm b| = \sqrt{(a \pm b) \cdot (a \pm b)}$

Usando la propiedad del producto punto:

$a \cdot b = |a||b| \cos \alpha = \cos \alpha$

Calculamos cada magnitud:

1. Para $|a - b|$:

$|a - b|^2 = (a - b) \cdot (a - b)$

Expandiendo:

$= a \cdot a - 2 a \cdot b + b \cdot b$

$= 1 - 2\cos \alpha + 1 = 2(1 - \cos \alpha)$

$|a - b| = \sqrt{2(1 - \cos \alpha)}$

2. Para $|a + b|$:

$|a + b|^2 = (a + b) \cdot (a + b)$

$= a \cdot a + 2 a \cdot b + b \cdot b$

$= 1 + 2\cos \alpha + 1 = 2(1 + \cos \alpha)$

$|a + b| = \sqrt{2(1 + \cos \alpha)}$

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Parte (b): Determinar $\cos \alpha$ cuando $|a + b| = 3|a - b|$

De la ecuación dada:

$\sqrt{2(1 + \cos \alpha)} = 3 \sqrt{2(1 - \cos \alpha)}$

Elevamos al cuadrado:

$2(1 + \cos \alpha) = 9 \cdot 2(1 - \cos \alpha)$

$1 + \cos \alpha = 9(1 - \cos \alpha)$

$1 + \cos \alpha = 9 - 9 \cos \alpha$

$1 + 9 \cos \alpha + \cos \alpha = 9$

$10 \cos \alpha = 8$

$\cos \alpha = \frac{4}{5}$

Por lo tanto, el valor de $\cos \alpha$ que satisface la condición es:

$\frac{4}{5}$

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¿Quieres más detalles o tienes preguntas?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula el producto punto de dos vectores en términos de sus componentes?
2. ¿Por qué los vectores unitarios tienen magnitud 1?
3. ¿Cómo se relaciona el ángulo $\alpha$ con la proyección de un vector sobre otro?
4. ¿Qué interpretación geométrica tienen los resultados obtenidos?
5. ¿Cómo se usa la desigualdad triangular en la suma y diferencia de vectores?

Tip: Cuando trabajes con vectores unitarios, el producto punto entre ellos es simplemente $\cos \alpha$, lo que simplifica muchos cálculos.