dado que f(x) quando x tende a -infinito = 7 e g(x) quando x tende a -infinito = -6, calcule (x*f(x)) / ((2x+3)*g(x))

Vamos calcular o limite da expressão \(\frac{x f(x)}{(2x+3)g(x)}\) quando \(x \to -\infty\), dado que:

- \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 7\)
- \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -6\)

### Passo 1: Entender o comportamento da expressão no limite

Sabemos que \(f(x)\) tende a 7 e \(g(x)\) tende a -6 conforme \(x\) tende a \(-\infty\). Então, podemos substituir \(f(x)\) e \(g(x)\) pelos seus valores limites.

### Passo 2: Substituir os limites na expressão

A expressão original é:

\[
\frac{x f(x)}{(2x+3) g(x)}
\]

No limite \(x \to -\infty\), substituímos \(f(x)\) por 7 e \(g(x)\) por -6:

\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{x \cdot 7}{(2x+3) \cdot (-6)}
\]

Isso simplifica para:

\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{7x}{-6(2x+3)}
\]

### Passo 3: Simplificar a expressão

Podemos expandir o denominador:

\[
-6(2x+3) = -12x - 18
\]

Então, a expressão torna-se:

\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{7x}{-12x - 18}
\]

### Passo 4: Dividir numerador e denominador por \(x\)

Para simplificar o cálculo do limite, podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por \(x\):

\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{7}{-12 - \frac{18}{x}}
\]

Quando \(x \to -\infty\), o termo \(\frac{18}{x}\) tende a 0. Logo, o limite da expressão torna-se:

\[
\frac{7}{-12}
\]

### Passo 5: Resultado final

O valor do limite é:

\[
\frac{7}{-12} = -\frac{7}{12}
\]

Portanto, o limite da expressão \(\frac{x f(x)}{(2x+3) g(x)}\) quando \(x \to -\infty\) é \(-\frac{7}{12}\).

### Perguntas relacionadas:
1. Como a função \(f(x)\) e \(g(x)\) afetam o comportamento do limite no infinito?
2. O que acontece com a expressão se \(f(x)\) tender a outro valor diferente de 7?
3. Como o termo \(\frac{18}{x}\) influencia o resultado do limite conforme \(x\) tende a \(-\infty\)?
4. Qual seria o resultado se \(g(x)\) tendesse a um valor positivo em vez de negativo?
5. Como você poderia calcular o limite se a função \(f(x)\) fosse mais complexa, por exemplo, uma função polinomial?

### Dica: 
Quando for calcular limites de frações no infinito, uma técnica útil é dividir todos os termos pelo maior grau de \(x\) para simplificar o cálculo.

Learn how to calculate the limit of the expression \(\frac{x f(x)}{(2x+3) g(x)}\) as \(x\) tends to negative infinity, given that \(f(x)\) tends to 7 and \(g(x)\) tends to -6. This solution covers key concepts such as limits, asymptotic behavior, and algebraic simplification techniques. Suitable for students in Grades 10-12.

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