Vamos calcular o limite da expressão $\frac{x f(x)}{(2x+3)g(x)}$ quando $x \to -\infty$, dado que:

• $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 7$
• $\lim_{x \to -\infty} g(x) = -6$

Passo 1: Entender o comportamento da expressão no limite

Sabemos que $f(x)$ tende a 7 e $g(x)$ tende a -6 conforme $x$ tende a $-\infty$. Então, podemos substituir $f(x)$ e $g(x)$ pelos seus valores limites.

Passo 2: Substituir os limites na expressão

A expressão original é:

$\frac{x f(x)}{(2x+3) g(x)}$

No limite $x \to -\infty$, substituímos $f(x)$ por 7 e $g(x)$ por -6:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x \cdot 7}{(2x+3) \cdot (-6)}$

Isso simplifica para:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{7x}{-6(2x+3)}$

Passo 3: Simplificar a expressão

Podemos expandir o denominador:

$-6(2x+3) = -12x - 18$

Então, a expressão torna-se:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{7x}{-12x - 18}$

Passo 4: Dividir numerador e denominador por $x$

Para simplificar o cálculo do limite, podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por $x$:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{7}{-12 - \frac{18}{x}}$

Quando $x \to -\infty$, o termo $\frac{18}{x}$ tende a 0. Logo, o limite da expressão torna-se:

$\frac{7}{-12}$

Passo 5: Resultado final

O valor do limite é:

$\frac{7}{-12} = -\frac{7}{12}$

Portanto, o limite da expressão $\frac{x f(x)}{(2x+3) g(x)}$ quando $x \to -\infty$ é $-\frac{7}{12}$.

Perguntas relacionadas:

1. Como a função $f(x)$ e $g(x)$ afetam o comportamento do limite no infinito?
2. O que acontece com a expressão se $f(x)$ tender a outro valor diferente de 7?
3. Como o termo $\frac{18}{x}$ influencia o resultado do limite conforme $x$ tende a $-\infty$?
4. Qual seria o resultado se $g(x)$ tendesse a um valor positivo em vez de negativo?
5. Como você poderia calcular o limite se a função $f(x)$ fosse mais complexa, por exemplo, uma função polinomial?

Dica:

Quando for calcular limites de frações no infinito, uma técnica útil é dividir todos os termos pelo maior grau de $x$ para simplificar o cálculo.