Pour calculer l'intégrale suivante :

$\int_{e}^{e^{-1}} \ln(x+1) \, dx$

nous allons procéder en plusieurs étapes.

1. Changer de limites (dans le bon ordre)

L'intégrale est définie de $e$ à $e^{-1}$, mais comme $e^{-1} < e$, il est préférable d'inverser les bornes, ce qui va inverser le signe de l'intégrale :

$\int_{e}^{e^{-1}} \ln(x+1) \, dx = -\int_{e^{-1}}^{e} \ln(x+1) \, dx$

2. Intégration de $\ln(x+1)$

Pour résoudre cette intégrale, nous allons utiliser une technique d'intégration par parties.

Soit :

• $u = \ln(x+1)$, donc $du = \frac{1}{x+1} \, dx$.
• $dv = dx$, donc $v = x$.

L'intégration par parties nous donne la formule : $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ En appliquant cette méthode, nous avons :

$\int \ln(x+1) \, dx = x \ln(x+1) - \int \frac{x}{x+1} \, dx$

3. Résolution de $\int \frac{x}{x+1} \, dx$

L'expression $\frac{x}{x+1}$ peut être simplifiée comme suit :

$\frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$

Ainsi, l'intégrale devient : $\int \frac{x}{x+1} \, dx = \int 1 \, dx - \int \frac{1}{x+1} \, dx = x - \ln(x+1)$

4. Revenir à notre intégrale

Nous avons maintenant l'intégrale : $\int \ln(x+1) \, dx = x \ln(x+1) - (x - \ln(x+1))$ C'est-à-dire : $\int \ln(x+1) \, dx = (x+1) \ln(x+1) - x$

5. Calcul de l'intégrale défini

Nous pouvons maintenant calculer l'intégrale de $e^{-1}$ à $e$ :

$\int_{e^{-1}}^{e} \ln(x+1) \, dx = \left[ (x+1) \ln(x+1) - x \right]_{e^{-1}}^{e}$

Évaluons cette expression aux bornes $e$ et $e^{-1}$ :

• Pour $x = e$ : $(e+1) \ln(e+1) - e$

• Pour $x = e^{-1}$ : $(e^{-1}+1) \ln(e^{-1}+1) - e^{-1}$

6. Substitution des valeurs

On obtient donc :

[ \int_{e^{-1}}^{e} \ln(x+1) , dx = \left[ (e+1) \ln(e+1) - e \right] - \left[ (e^{-1}+1) \ln(e^{-1}+1) - e^{-1} \right] ]

Conclusion

L'intégrale est donc calculée à partir de ces deux expressions, et si besoin vous pouvez en détailler la simplification numérique.

Souhaitez-vous plus de détails sur les étapes de calcul ou une aide pour la simplification numérique ?

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Autres questions :

1. Quelle est la méthode d'intégration la plus utilisée pour les fonctions logarithmiques ?
2. Comment résoudre une intégrale avec une fonction inverse comme $\frac{1}{x+1}$ ?
3. Quel est l'impact de l'ordre des bornes d'intégration ?
4. Quelles sont les applications pratiques des intégrales impliquant des logarithmes ?
5. Comment calculer une intégrale de la forme $\int \frac{1}{x+1} \, dx$ ?

Astuce : Lors de l'intégration par parties, il est souvent utile de vérifier si une simplification peut être faite avant d'appliquer la méthode, notamment avec des expressions rationnelles.