Diberikan fungsi kepadatan probabilitas (PDF) $f(x) = 4e^{-4x}$ untuk $x > 0$, kita akan menghitung nilai harapan $E[X]$, $E[X^2]$, dan variansi $\text{Var}(X)$.

1. Menghitung $E[X]$ (Ekspektasi atau nilai harapan dari $X$)

Nilai harapan $E[X]$ untuk distribusi kontinu dihitung dengan: $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$ Untuk PDF yang diberikan: $E[X] = \int_0^{\infty} x \cdot 4e^{-4x} \, dx$ Gunakan integral substitusi atau integral parsial untuk menghitungnya. Setelah perhitungan, kita mendapatkan:

$E[X] = \frac{1}{4}$

2. Menghitung $E[X^2]$ (Ekspektasi dari $X^2$)

Nilai $E[X^2]$ dihitung dengan: $E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx$ Untuk PDF yang diberikan: $E[X^2] = \int_0^{\infty} x^2 \cdot 4e^{-4x} \, dx$ Dengan teknik integrasi yang serupa, hasilnya adalah:

$E[X^2] = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

3. Menghitung $\text{Var}(X)$ (Variansi dari $X$)

Variansi $\text{Var}(X)$ dihitung dengan: [ \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 ] Dari hasil sebelumnya, kita substitusikan:

$\text{Var}(X) = \frac{1}{8} - \left( \frac{1}{4} \right)^2$ $\text{Var}(X) = \frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

Kesimpulan:

• $E[X] = \frac{1}{4}$
• $E[X^2] = \frac{1}{8}$
• $\text{Var}(X) = \frac{1}{8}$

Apakah ada yang perlu dijelaskan lebih lanjut?

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana integral substitusi digunakan dalam penghitungan $E[X]$?
2. Apa makna dari nilai harapan $E[X]$ dalam konteks probabilitas?
3. Bagaimana cara menafsirkan nilai variansi $\text{Var}(X)$?
4. Apa perbedaan antara $E[X]$ dan $E[X^2]$ dalam konteks distribusi?
5. Bagaimana metode integral parsial dapat mempermudah perhitungan ekspektasi?

Tip: Ketika menghitung nilai harapan atau variansi, pahami dulu bentuk PDF untuk mengetahui apakah distribusi tersebut adalah distribusi khusus (misalnya eksponensial, normal).