menghitung E[X], E[X²], dan Var[X] untuk setiap fungsi kepadatan probabilitas (PDF) yang diberikan.b) f(x) = 4e^(-4x), x > 0


Diberikan fungsi kepadatan probabilitas (PDF) \( f(x) = 4e^{-4x} \) untuk \( x > 0 \), kita akan menghitung nilai harapan \( E[X] \), \( E[X^2] \), dan variansi \( \text{Var}(X) \).

### 1. **Menghitung \( E[X] \)** (Ekspektasi atau nilai harapan dari \( X \))
Nilai harapan \( E[X] \) untuk distribusi kontinu dihitung dengan:
\[
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
\]
Untuk PDF yang diberikan:
\[
E[X] = \int_0^{\infty} x \cdot 4e^{-4x} \, dx
\]
Gunakan integral substitusi atau integral parsial untuk menghitungnya. Setelah perhitungan, kita mendapatkan:

\[
E[X] = \frac{1}{4}
\]

### 2. **Menghitung \( E[X^2] \)** (Ekspektasi dari \( X^2 \))
Nilai \( E[X^2] \) dihitung dengan:
\[
E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx
\]
Untuk PDF yang diberikan:
\[
E[X^2] = \int_0^{\infty} x^2 \cdot 4e^{-4x} \, dx
\]
Dengan teknik integrasi yang serupa, hasilnya adalah:

\[
E[X^2] = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}
\]

### 3. **Menghitung \( \text{Var}(X) \)** (Variansi dari \( X \))
Variansi \( \text{Var}(X) \) dihitung dengan:
\[
\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2
\]
Dari hasil sebelumnya, kita substitusikan:

\[
\text{Var}(X) = \frac{1}{8} - \left( \frac{1}{4} \right)^2
\]
\[
\text{Var}(X) = \frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}
\]

### Kesimpulan:
- \( E[X] = \frac{1}{4} \)
- \( E[X^2] = \frac{1}{8} \)
- \( \text{Var}(X) = \frac{1}{8} \)

Apakah ada yang perlu dijelaskan lebih lanjut?

**Pertanyaan Terkait:**
1. Bagaimana integral substitusi digunakan dalam penghitungan \( E[X] \)?
2. Apa makna dari nilai harapan \( E[X] \) dalam konteks probabilitas?
3. Bagaimana cara menafsirkan nilai variansi \( \text{Var}(X) \)?
4. Apa perbedaan antara \( E[X] \) dan \( E[X^2] \) dalam konteks distribusi?
5. Bagaimana metode integral parsial dapat mempermudah perhitungan ekspektasi?

**Tip**: Ketika menghitung nilai harapan atau variansi, pahami dulu bentuk PDF untuk mengetahui apakah distribusi tersebut adalah distribusi khusus (misalnya eksponensial, normal).

menghitung E[X], E[X²], dan Var[X] untuk setiap fungsi kepadatan probabilitas (PDF) yang diberikan. b) f(x) = 4e^(-4x), x > 0

This guide walks through the process of calculating the expected value E[X], E[X²], and the variance Var(X) for the given exponential probability density function f(x) = 4e^(-4x), with step-by-step solutions and key concepts in probability theory.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation