Diketahui variabel random X dengan pdf, f(x) = { 2e^-2x; untuk x > 0; untuk x yang lain 

Tentukan rerata dan variansi dari X tersebut!

Diberikan fungsi densitas probabilitas (pdf) \( f(x) \) dari variabel acak \( X \), yaitu:

\[
f(x) = 
\begin{cases} 
2e^{-2x} & \text{untuk } x > 0 \\ 
0 & \text{untuk } x \leq 0 
\end{cases}
\]

Untuk menghitung rerata (mean) dan variansi dari \( X \), kita gunakan rumus berikut:

### 1. Rerata (Ekspektasi) \( E(X) \)
Rumus rerata \( E(X) \) dari variabel acak kontinu dengan pdf \( f(x) \) adalah:
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
\]
Dalam kasus ini, kita hanya perlu menghitung integral dari \( x f(x) \) untuk \( x > 0 \), karena \( f(x) = 0 \) untuk \( x \leq 0 \):
\[
E(X) = \int_0^{\infty} x \cdot 2e^{-2x} \, dx
\]
Dengan menggunakan integrasi parsial atau rumus integral yang sesuai, hasilnya:
\[
E(X) = \frac{1}{2}
\]

### 2. Ekspektasi \( E(X^2) \)
Untuk menghitung variansi, kita memerlukan \( E(X^2) \):
\[
E(X^2) = \int_0^{\infty} x^2 \cdot 2e^{-2x} \, dx
\]
Hasil dari integral ini adalah:
\[
E(X^2) = \frac{1}{2}
\]

### 3. Variansi \( \text{Var}(X) \)
Variansi didefinisikan sebagai:
\[
\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2
\]
Dengan substitusi nilai-nilai di atas:
\[
\text{Var}(X) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
\]

Jadi, rerata dan variansi dari \( X \) adalah:
\[
E(X) = \frac{1}{2} \quad \text{dan} \quad \text{Var}(X) = \frac{1}{4}
\]

Apakah Anda ingin rincian lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

### Pertanyaan Terkait
1. Bagaimana cara menentukan modus dari variabel acak \( X \)?
2. Bagaimana interpretasi dari nilai ekspektasi \( E(X) \) dan variansi \( \text{Var}(X) \)?
3. Bagaimana cara menghitung ekspektasi untuk fungsi lain dari \( X \)?
4. Apakah \( X \) memiliki distribusi tertentu, seperti eksponensial?
5. Bagaimana cara menentukan skewness dan kurtosis dari distribusi \( X \)?

### Tip
Integral parsial seringkali diperlukan saat menghitung ekspektasi untuk variabel acak dengan bentuk eksponensial.

Diketahui variabel random X dengan pdf, f(x) = { 2e^-2x; untuk x > 0; untuk x yang lain. Tentukan rerata dan variansi dari X tersebut!

Learn how to calculate the mean and variance of a continuous random variable X with an exponential probability density function (pdf). This detailed solution covers the expected value, variance, and integration techniques needed to find E(X) and Var(X) for X > 0. Ideal for undergraduate students studying probability and statistics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation