Math Problem Statement
Diketahui variabel random X dengan pdf, f(x) = { 2e^-2x; untuk x > 0; untuk x yang lain
Tentukan rerata dan variansi dari X tersebut!
Solution
Diberikan fungsi densitas probabilitas (pdf) dari variabel acak , yaitu:
\begin{cases} 2e^{-2x} & \text{untuk } x > 0 \\ 0 & \text{untuk } x \leq 0 \end{cases}$$ Untuk menghitung rerata (mean) dan variansi dari $$X$$, kita gunakan rumus berikut: ### 1. Rerata (Ekspektasi) $$E(X)$$ Rumus rerata $$E(X)$$ dari variabel acak kontinu dengan pdf $$f(x)$$ adalah: $$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$$ Dalam kasus ini, kita hanya perlu menghitung integral dari $$x f(x)$$ untuk $$x > 0$$, karena $$f(x) = 0$$ untuk $$x \leq 0$$: $$E(X) = \int_0^{\infty} x \cdot 2e^{-2x} \, dx$$ Dengan menggunakan integrasi parsial atau rumus integral yang sesuai, hasilnya: $$E(X) = \frac{1}{2}$$ ### 2. Ekspektasi $$E(X^2)$$ Untuk menghitung variansi, kita memerlukan $$E(X^2)$$: $$E(X^2) = \int_0^{\infty} x^2 \cdot 2e^{-2x} \, dx$$ Hasil dari integral ini adalah: $$E(X^2) = \frac{1}{2}$$ ### 3. Variansi $$\text{Var}(X)$$ Variansi didefinisikan sebagai: $$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$$ Dengan substitusi nilai-nilai di atas: $$\text{Var}(X) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$ Jadi, rerata dan variansi dari $$X$$ adalah: $$E(X) = \frac{1}{2} \quad \text{dan} \quad \text{Var}(X) = \frac{1}{4}$$ Apakah Anda ingin rincian lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain? ### Pertanyaan Terkait 1. Bagaimana cara menentukan modus dari variabel acak $$X$$? 2. Bagaimana interpretasi dari nilai ekspektasi $$E(X)$$ dan variansi $$\text{Var}(X)$$? 3. Bagaimana cara menghitung ekspektasi untuk fungsi lain dari $$X$$? 4. Apakah $$X$$ memiliki distribusi tertentu, seperti eksponensial? 5. Bagaimana cara menentukan skewness dan kurtosis dari distribusi $$X$$? ### Tip Integral parsial seringkali diperlukan saat menghitung ekspektasi untuk variabel acak dengan bentuk eksponensial.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Probability Theory
Continuous Random Variables
Expected Value
Variance
Formulas
E(X) = ∫ x f(x) dx for continuous distributions
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2
Theorems
Expectation and Variance of Continuous Random Variables
Suitable Grade Level
Undergraduate Probability/Statistics
Related Recommendation
Finding Mean and Variance for an Exponential Distribution
Find E[X^2] and Variance of X for a Continuous Random Variable with Exponential PDF
Calculating Expected Value and Variance for Exponential Distribution f(x) = 4e^(-4x)
Find E[X^2] and Var(X) for Exponential Distribution with PDF f(x) = 2e^(-2x)
Calculate Expected Value and Variance of a Continuous Random Variable