La distribución de probabilidad de las reclamaciones por daños que pagó la aseguradora GPN Seguros por seguro contra choques es la siguiente. 

Pago ($): 0, 500, 1000, 3000, 5000, 8000, 10000 
Probabilidad: 0.85, 0.04, 0.04, 0.03, 0.02, 0.01, 0.01

a) Use el pago de choque esperado para determinar la prima del seguro contra colisiones que permitiría a la empresa no ganar ni perder. 
b) La compañía de seguros cobra una tarifa anual de $520 por la cobertura de choques. ¿Cuál es el valor esperado del seguro contra choques para un asegurado? (Pista: son los pagos esperados de la empresa menos el costo de cobertura.) 
c) ¿Por qué el cliente compra un seguro contra colisiones con este valor esperado?

Vamos a resolver cada parte de la pregunta paso a paso:

### a) Pago de choque esperado

Para encontrar el pago de choque esperado, calculamos el valor esperado de la distribución de probabilidad dada. Esto se hace multiplicando cada posible pago por su probabilidad y sumando todos los valores resultantes.

El valor esperado (E) se calcula como:

\[
E = \sum (x_i \cdot p_i)
\]

donde $x_i$ son los pagos y $p_i$ son las probabilidades asociadas. Sustituyendo los valores proporcionados:

\[
E = (0 \cdot 0.85) + (500 \cdot 0.04) + (1000 \cdot 0.04) + (3000 \cdot 0.03) + (5000 \cdot 0.02) + (8000 \cdot 0.01) + (10000 \cdot 0.01)
\]

Ahora, realizamos los cálculos.El pago de choque esperado es de \$430. 

Para que la aseguradora no gane ni pierda dinero, la prima del seguro contra colisiones debería ser igual al valor esperado de los pagos, es decir, \$430.

### b) Valor esperado del seguro para el asegurado

La compañía de seguros cobra una tarifa anual de \$520. Para encontrar el valor esperado del seguro para el asegurado, restamos el pago de choque esperado de la tarifa anual:

\[
\text{Valor esperado para el asegurado} = 520 - 430
\]

Realizamos este cálculo: 

\[
\text{Valor esperado para el asegurado} = 90
\]

El valor esperado para el asegurado es \$90. Esto representa una pérdida esperada de \$90 para el asegurado.

### c) ¿Por qué el cliente compra un seguro con este valor esperado?

Aunque el valor esperado del seguro es negativo para el asegurado (lo cual implica que, en promedio, perdería dinero), los clientes compran seguros principalmente para protegerse contra eventos catastróficos o pérdidas grandes que no podrían cubrir fácilmente por sí mismos. El seguro proporciona seguridad financiera y tranquilidad, compensando la pérdida esperada monetaria con la reducción del riesgo.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para expandir la información:

1. ¿Cómo se calculan los pagos esperados en diferentes distribuciones de probabilidad?
2. ¿Qué factores pueden influir en la decisión de fijar la prima del seguro?
3. ¿Cómo afecta la aversión al riesgo en la decisión de comprar un seguro?
4. ¿Qué rol juega la ley de grandes números en el negocio de los seguros?
5. ¿Cómo se podrían ajustar las primas para maximizar los beneficios de la aseguradora?

**Tip:** En la teoría de seguros, el precio de la prima suele incluir una carga adicional para cubrir los costos administrativos y obtener ganancias, además del valor esperado del pago de las reclamaciones.

Explore how to calculate expected payments in collision insurance using probability theory and the expected value formula. Understand why clients purchase insurance despite expected negative returns and learn about the implications for insurance premiums.

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