Para resolver este problema, necesitamos encontrar los valores de $a$ y $b$ tal que la recta $2x + 3y = 14$ sea tangente a la gráfica de la función $f(x) = a + \frac{4}{x} + \frac{b}{x^2}$ en el punto con abscisa $x = 3$. El proceso se puede dividir en los siguientes pasos:

Paso 1: Encontrar la pendiente de la recta tangente

Primero, despejamos la ecuación de la recta $2x + 3y = 14$ para obtener la pendiente. Resolvemos para $y$:

$3y = 14 - 2x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{14 - 2x}{3}$

La pendiente de esta recta es el coeficiente de $x$, que es $-\frac{2}{3}$.

Paso 2: Derivada de la función $f(x)$

La pendiente de la recta tangente en un punto es igual al valor de la derivada de la función en ese mismo punto. Por lo tanto, necesitamos calcular la derivada de $f(x)$:

$f(x) = a + \frac{4}{x} + \frac{b}{x^2}$

Aplicamos las reglas de derivación:

• La derivada de $a$ es $0$.
• La derivada de $\frac{4}{x}$ es $-\frac{4}{x^2}$.
• La derivada de $\frac{b}{x^2}$ es $-\frac{2b}{x^3}$.

Entonces, la derivada de $f(x)$ es:

$f'(x) = -\frac{4}{x^2} - \frac{2b}{x^3}$

Paso 3: Condición de tangencia en $x = 3$

La recta es tangente a la gráfica de $f(x)$ en $x = 3$, lo que implica dos condiciones:

1. La pendiente de la recta tangente debe ser igual a la derivada de $f(x)$ en $x = 3$.

   Es decir, $f'(3) = -\frac{2}{3}$.

2. La recta debe pasar por el punto de tangencia, es decir, la ordenada de la recta en $x = 3$ debe ser igual a $f(3)$.

Paso 4: Evaluar la derivada en $x = 3$

Evaluamos $f'(x)$ en $x = 3$:

$f'(3) = -\frac{4}{3^2} - \frac{2b}{3^3} = -\frac{4}{9} - \frac{2b}{27}$

Igualamos esto a la pendiente de la recta, $-\frac{2}{3}$:

$-\frac{4}{9} - \frac{2b}{27} = -\frac{2}{3}$

Multiplicamos toda la ecuación por 27 para eliminar los denominadores:

$-12 - 2b = -18$

Despejamos $b$:

$-2b = -18 + 12 \quad \Rightarrow \quad -2b = -6 \quad \Rightarrow \quad b = 3$

Paso 5: Condición de que la recta pase por el punto $x = 3$

Ahora, debemos asegurarnos de que la recta pase por el punto de tangencia. La ordenada de la recta en $x = 3$ es:

$y = \frac{14 - 2(3)}{3} = \frac{14 - 6}{3} = \frac{8}{3}$

La ordenada de la función en $x = 3$ es:

$f(3) = a + \frac{4}{3} + \frac{b}{3^2} = a + \frac{4}{3} + \frac{b}{9}$

Sustituyendo $b = 3$:

$f(3) = a + \frac{4}{3} + \frac{3}{9} = a + \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = a + \frac{5}{3}$

Igualamos $f(3)$ con la ordenada de la recta:

$a + \frac{5}{3} = \frac{8}{3}$

Despejamos $a$:

$a = \frac{8}{3} - \frac{5}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Resultado final

Los valores de $a$ y $b$ son:

$a = 1, \quad b = 3$

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¿Te gustaría que te explique algún paso con más detalle o tienes alguna otra pregunta sobre este problema? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que podrían interesarte:

1. ¿Cómo se interpreta el concepto de tangencia entre una curva y una recta?
2. ¿Qué otras formas existen para calcular el valor de una constante en una función cuando se da una recta tangente?
3. ¿Qué pasa si la recta no es tangente sino secante a la curva?
4. ¿Cómo calcular el área bajo una curva definida por una función?
5. ¿Qué implicaciones tiene la derivada de una función respecto a sus puntos de inflexión y máximos/mínimos?

Tip: Para resolver problemas de tangencia, siempre asegúrate de usar las dos condiciones: la igualdad de las pendientes y la coincidencia de los valores de la función en el punto de tangencia.