Vi har funksjonen

$h(x) = ax^2 + b$

og tangenten til $h(x)$ i punktet $x = 1$ er gitt som:

$y = 4x + 3$

For å finne funksjonsuttrykket til $h(x)$, følger vi disse stegene:

---

1. Egenskaper ved tangenten:

Tangenten gir oss to viktige betingelser:

• Punktet på grafen: Funksjonsverdien til $h(x)$ når $x = 1$ må være lik verdien av tangenten i $x = 1$.
• Stigningstall: Den deriverte av $h(x)$ ved $x = 1$ må være lik stigningstallet til tangenten, som er 4.

---

2. Betingelse 1: Punktet $(1, y)$

Fra tangenten $y = 4x + 3$ har vi at når $x = 1$: $y = 4(1) + 3 = 7$

Dermed må $h(1) = 7$, altså: $h(1) = a(1)^2 + b = 7$

Dette gir oss en ligning:

\tag{1}$$ --- ### 3. **Betingelse 2: Stigningstallet** Stigningstallet til tangenten i $$x = 1$$ er 4. Dermed må den deriverte av $$h(x)$$ oppfylle at: $$h'(1) = 4$$ Deriver funksjonen $$h(x) = ax^2 + b$$: $$h'(x) = 2ax$$ Sett inn $$x = 1$$: $$h'(1) = 2a(1) = 4$$ Dette gir oss en annen ligning: $$2a = 4 \implies a = 2 \tag{2}$$ --- ### 4. **Løsning av systemet** Fra $$a = 2$$ og $$a + b = 7$$: $$2 + b = 7 \implies b = 5$$ --- ### 5. **Funksjonsuttrykket** Dermed er funksjonsuttrykket til $$h(x)$$: $$h(x) = 2x^2 + 5$$ --- ### Verifisering 1. Funksjonsverdien ved $$x = 1$$: $$h(1) = 2(1)^2 + 5 = 7 \quad \text{(OK)}$$ 2. Den deriverte ved $$x = 1$$: $$h'(x) = 2 \cdot 2x = 4x \quad \implies \quad h'(1) = 4 \quad \text{(OK)}$$ --- Har du spørsmål, eller ønsker du en utvidelse av forklaringen? 😊 --- ### Relaterte spørsmål: 1. Hvordan kan man generelt finne funksjoner fra tangentbetingelser? 2. Hva er geometrien bak derivater og tangenter? 3. Hvordan påvirker endring av $$a$$ og $$b$$ formen til en kvadratisk funksjon? 4. Hvordan kan vi sjekke konkavitet for en kvadratisk funksjon? 5. Hva skjer hvis tangenten til $$h(x)$$ gis i et annet punkt enn $$x = 1$$? **Tips**: Husk at en tangent alltid gir både en verdi- og en stigningsbetingelse!