Vi ska lösa problemet med ekvationen $y = ax^2 + bx + c$, som tangerar linjen $y = x$ i origo och också tangerar linjen $y = 2x - 3$.

Steg för steg:

1. Första tangeringen: $y = x$ vid origo ($(0,0)$)

Eftersom kurvan tangerar linjen $y = x$ i origo, måste följande gälla:

1. Kurvan går genom origo: $y = ax^2 + bx + c = 0 \quad \text{vid } x = 0.$ Detta ger: $c = 0.$

2. Derivatornas lutningar stämmer vid origo: Lutningen av $y = x$ är 1. Därför måste derivatan av $y = ax^2 + bx + c$ vara lika med 1 vid $x = 0$: $y' = 2ax + b.$ Vid $x = 0$ ger detta: $b = 1.$

Nu har vi hittills: $y = ax^2 + x.$

2. Andra tangeringen: $y = 2x - 3$

Kurvan tangerar också linjen $y = 2x - 3$. Det innebär att:

1. Kurvan och linjen möts: Vi sätter $ax^2 + x = 2x - 3$: $ax^2 - x + 3 = 0.$ Eftersom det är en tangering, har denna kvadratiska ekvation exakt en lösning, vilket innebär att dess diskriminant ($\Delta$) är 0.

2. Beräkna diskriminanten: För $ax^2 - x + 3 = 0$, är diskriminanten: $\Delta = b^2 - 4ac.$ Här är $b = -1$, $a = a$, och $c = 3$, så: $\Delta = (-1)^2 - 4a(3) = 1 - 12a.$ För tangering måste $\Delta = 0$: $1 - 12a = 0 \implies a = \frac{1}{12}.$

3. Slutsats:

Nu har vi värdena på $a$, $b$, och $c$: $a = \frac{1}{12}, \quad b = 1, \quad c = 0.$

Den fullständiga ekvationen för kurvan är: $y = \frac{1}{12}x^2 + x.$

Vill du ha en grafisk illustration eller ytterligare förklaring?

Relaterade frågor:

1. Hur verifierar man att kurvan verkligen tangerar linjerna?
2. Hur påverkas tangeringen om linjens lutning ändras?
3. Vad händer om kurvan har fler tangeringspunkter?
4. Hur löser man om $c \neq 0$?
5. Kan vi hitta tangenterna algebraiskt för en given kvadratisk kurva?

Tips: Kontrollera alltid lösningens rimlighet genom att substituera resultatet tillbaka i ursprungliga ekvationer.