Uppgift 10

Vi ska ta reda på hur lång provtiden är, givet följande information:

1. Läraren säger att en tredjedel av provtiden har gått.
2. Efter ytterligare 10 minuter säger läraren att halva provtiden har gått.

Låt provtiden vara $T$ minuter. Då kan vi skapa följande ekvationer baserat på informationen:

• Efter en tredjedel av provtiden har gått, har det gått $\frac{T}{3}$ minuter.
• Efter ytterligare 10 minuter har halva provtiden gått, vilket innebär att tiden som gått är $\frac{T}{2}$ minuter.

Vi får då ekvationen:

$\frac{T}{3} + 10 = \frac{T}{2}$

Nu löser vi ekvationen:

1. Subtrahera $\frac{T}{3}$ från båda sidor: $10 = \frac{T}{2} - \frac{T}{3}$

2. Gör om termerna till gemensam nämnare (som är 6): $10 = \frac{3T}{6} - \frac{2T}{6}$ $10 = \frac{T}{6}$

3. Multiplicera båda sidor med 6: $T = 60 \, \text{minuter}$

Provets längd är alltså 60 minuter.

---

Uppgift 11 a)

Alma höjer priset och sänker det sedan, och vi ska visa att det ursprungliga priset blir samma efter dessa ändringar.

1. Ursprungspriset för mössan är 350 kr.

2. Hon höjer priset med $\frac{1}{7}$ av det ursprungliga priset. Detta innebär att höjningen är: $350 \times \frac{1}{7} = 50 \, \text{kr}$ Det nya priset efter höjningen blir då: $350 + 50 = 400 \, \text{kr}$

3. Sedan sänker hon det nya priset med $\frac{1}{8}$ av det nya priset, alltså $400$ kr. Sänkningen är: $400 \times \frac{1}{8} = 50 \, \text{kr}$ Det nya priset efter sänkningen blir då: $400 - 50 = 350 \, \text{kr}$

Därmed är priset tillbaka på 350 kr efter höjningen och sänkningen, vilket bekräftar att uppgiften stämmer.

---

Uppgift 11 b)

Nu ska Alma istället höja priset med $\frac{1}{10}$ och vi ska räkna ut hur stor sänkningen ska vara för att priset ska återgå till det ursprungliga.

1. Ursprungspriset är 350 kr.

2. Hon höjer priset med $\frac{1}{10}$, vilket innebär att höjningen är: $350 \times \frac{1}{10} = 35 \, \text{kr}$ Det nya priset blir då: $350 + 35 = 385 \, \text{kr}$

3. Låt sänkningen vara $x$-andel av det nya priset $385$. Vi vill att priset efter sänkningen ska bli 350 kr, så vi sätter upp ekvationen: $385 - x \times 385 = 350$ Förenkla ekvationen: $385(1 - x) = 350$

4. Dela båda sidor med 385: $1 - x = \frac{350}{385} = \frac{350}{385} = \frac{10}{11}$

5. Subtrahera från 1: $x = 1 - \frac{10}{11} = \frac{1}{11}$

Sänkningen måste alltså vara $\frac{1}{11}$ av det nya priset för att priset ska återgå till 350 kr.

---

Frågor för vidare förståelse:

1. Vad skulle provtiden bli om läraren istället sa att en fjärdedel av tiden hade gått först?
2. Hur påverkas den ursprungliga ekvationen i uppgift 10 om man ändrar den andra tiden till 15 minuter istället för 10 minuter?
3. Hur stor skulle höjningen bli om Alma höjde priset med $\frac{1}{5}$ istället för $\frac{1}{7}$?
4. Vad skulle priset bli om Alma sänkte det nya priset med $\frac{1}{6}$ istället för $\frac{1}{8}$?
5. Om priset istället höjs med $\frac{1}{3}$, hur mycket ska det sänkas för att återgå till det ursprungliga priset?

---

Tips:

När du löser ekvationer, se till att hålla koll på enheterna och vad varje variabel representerar, särskilt när flera steg ingår i lösningen!