Έστω ότι το σύνολο $A$ έχει 3 στοιχεία και το σύνολο $B$ έχει 7 στοιχεία. Θέλουμε να βρούμε πόσες επί συναρτήσεις (δηλαδή συναρτήσεις που είναι και ομοιομορφικές και επί) υπάρχουν από το $A$ στο $B$.

Βήματα επίλυσης:

1. Ορισμός επί συναρτήσεων: Μία επί συνάρτηση (surjective function) από το $A$ στο $B$ είναι μια συνάρτηση όπου κάθε στοιχείο του $B$ είναι εικόνα κάποιου στοιχείου του $A$.

2. Αριθμός στοιχείων: Ο συνολικός αριθμός συναρτήσεων από ένα σύνολο $A$ με 3 στοιχεία σε ένα σύνολο $B$ με 7 στοιχεία είναι $7^3$, καθώς κάθε στοιχείο του $A$ μπορεί να απεικονιστεί σε οποιοδήποτε από τα 7 στοιχεία του $B$.

3. Καταμέτρηση επί συναρτήσεων: Για να μετρήσουμε τις επί συναρτήσεις, χρησιμοποιούμε τον τύπο: $S(m,n) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} (n-k)^m$ όπου $m$ είναι το πλήθος των στοιχείων του $A$ και $n$ το πλήθος των στοιχείων του $B$.

   Εδώ, $m = 3$ και $n = 7$. Επομένως: $S(3,7) = \sum_{k=0}^{7} (-1)^k \binom{7}{k} (7-k)^3$ Υπολογίζοντας αυτή την τιμή, θα βρούμε τον αριθμό των επί συναρτήσεων από το $A$ στο $B$.

Η υπολογισμός του συγκεκριμένου αθροίσματος δίνει την απάντηση. Σε περίπτωση που χρειάζεστε τον ακριβή αριθμό, μπορώ να το υπολογίσω.

Θέλετε να προχωρήσουμε με τον υπολογισμό ή έχετε άλλες ερωτήσεις;

---

Σχετικές ερωτήσεις:

1. Τι είναι η κυκλική συνάρτηση και πώς σχετίζεται με τις επί συναρτήσεις;
2. Ποιος είναι ο τύπος για τον υπολογισμό του αριθμού των ομοιομορφικών συναρτήσεων;
3. Πώς μπορούμε να βρούμε τον αριθμό των ενέσεων (1-1 συναρτήσεων) μεταξύ δύο συνόλων;
4. Πώς αλλάζει ο αριθμός των επί συναρτήσεων αν το πλήθος των στοιχείων του $A$ αυξηθεί;
5. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των επί και των ενέσεων συναρτήσεων;

Συμβουλή: Στα προβλήματα συνδυαστικής, συχνά χρησιμοποιούμε αθροιστικές τεχνικές ή τον συμπληρωματικό κανόνα για να βρούμε τον ακριβή αριθμό των επιθυμητών συναρτήσεων.