Условие задачи:

Всхожесть семян составляет 45% ($p = 0.45$). Для трёх семян ($n = 3$) определить вероятность:

а) что взойдут все три семени;
б) что взойдут менее трёх семян.

Решение:

Для решения используем биномиальное распределение, где вероятность $P(k)$ определяется формулой: $P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k},$ где:

• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний,
• $p$ — вероятность успеха (в данном случае взошло),
• $1-p$ — вероятность неудачи (не взошло),
• $n$ — общее число экспериментов (семян),
• $k$ — число успешных исходов.

---

а) Вероятность, что взойдут все три семени ($k = 3$):

$P(3) = C_3^3 \cdot p^3 \cdot (1-p)^0 = 1 \cdot 0.45^3 \cdot 1 = 0.45^3 = 0.091125.$

Вероятность того, что взойдут все три семени: P(3) = 0.0911 \, \text{(или 9.11%)}.

---

б) Вероятность, что взойдут менее трёх семян ($k < 3$):

Это $P(0) + P(1) + P(2)$.

1. $P(0)$ (не взошло ни одно семя, $k = 0$): $P(0) = C_3^0 \cdot p^0 \cdot (1-p)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.55^3 = 0.166375.$

2. $P(1)$ (взошло одно семя, $k = 1$): $P(1) = C_3^1 \cdot p^1 \cdot (1-p)^2 = 3 \cdot 0.45 \cdot 0.55^2 = 3 \cdot 0.45 \cdot 0.3025 = 0.408375.$

3. $P(2)$ (взошло два семени, $k = 2$): $P(2) = C_3^2 \cdot p^2 \cdot (1-p)^1 = 3 \cdot 0.45^2 \cdot 0.55 = 3 \cdot 0.2025 \cdot 0.55 = 0.334125.$

Сумма для $k < 3$: $P(<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.166375 + 0.408375 + 0.334125 = 0.908875.$

Вероятность того, что взойдут менее трёх семян: P(<3) = 0.9089 \, \text{(или 90.89%)}.

---

Ответы:

а) Вероятность, что взойдут все три семени: 9.11%.
б) Вероятность, что взойдут менее трёх семян: 90.89%.

---

Если нужно, могу дополнить разъяснениями или графическим представлением биномиального распределения.

5 вопросов для размышления:

1. Какова вероятность, что взойдут ровно два семени?
2. Как изменится вероятность, если вероятность всхожести будет 60%?
3. Что произойдёт с $P(k)$, если увеличить количество семян до 5?
4. Как рассчитать вероятность для большего числа семян при аналогичных условиях?
5. Какова вероятность, что хотя бы одно семя взойдёт?

Совет: Биномиальное распределение удобно использовать при конечном числе экспериментов, но при больших $n$ можно перейти к аппроксимации нормальным распределением!