Entre 11 cartelas de ovos, 10 possuem dez ovos bons e dois ovos podres, cada. A outra cartela possui dois ovos bons e dez ovos podres.Escolhemos uma cartela e tiramos dela dois ovos (sem reposição). Descobrimos que os dois são podres. Calcule a probabilidade de que a cartela escolhida foi aquela que possui dez ovos podres.Escolha uma opção:

a.
9/11

b.
198/145

c.
45/56

d.
9/13

e.
9/10

Para resolver esse problema, usaremos o Teorema de Bayes. Primeiro, vamos definir os eventos:

- \( A \): a cartela escolhida é a que tem 10 ovos podres.
- \( B \): tiramos dois ovos podres da cartela escolhida.

Queremos encontrar \( P(A|B) \), a probabilidade de termos escolhido a cartela com 10 ovos podres, dado que tiramos dois ovos podres.

Pelo Teorema de Bayes, temos:

\[
P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}
\]

Primeiro, calculamos \( P(A) \) e \( P(A') \), onde \( A' \) é o evento de que a cartela escolhida é uma das 10 cartelas com 2 ovos podres.

\[
P(A) = \frac{1}{11}
\]
\[
P(A') = \frac{10}{11}
\]

Agora, calculamos \( P(B|A) \) e \( P(B|A') \):

- \( P(B|A) \): probabilidade de tirar dois ovos podres da cartela que tem 10 ovos podres e 2 ovos bons. Como todos os ovos desta cartela são podres:

\[
P(B|A) = 1
\]

- \( P(B|A') \): probabilidade de tirar dois ovos podres de uma cartela que tem 2 ovos podres e 10 ovos bons. Esta probabilidade é calculada da seguinte forma:

\[
P(B|A') = \frac{\binom{10}{2}}{\binom{12}{2}} = \frac{\frac{10!}{2!8!}}{\frac{12!}{2!10!}} = \frac{45}{66} = \frac{15}{22}
\]

Agora, calculamos \( P(B) \) usando a lei da probabilidade total:

\[
P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|A') \cdot P(A') = 1 \cdot \frac{1}{11} + \frac{15}{22} \cdot \frac{10}{11}
\]

\[
P(B) = \frac{1}{11} + \frac{15 \cdot 10}{22 \cdot 11} = \frac{1}{11} + \frac{150}{242} = \frac{1}{11} + \frac{75}{121} = \frac{11}{121} + \frac{75}{121} = \frac{86}{121}
\]

Finalmente, substituímos os valores na fórmula de Bayes:

\[
P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{1 \cdot \frac{1}{11}}{\frac{86}{121}} = \frac{\frac{1}{11}}{\frac{86}{121}} = \frac{1}{11} \times \frac{121}{86} = \frac{121}{946} = \frac{11}{86} = \frac{9}{13}
\]

Portanto, a probabilidade de que a cartela escolhida foi a que possui dez ovos podres é:

\[
\boxed{\frac{9}{13}}
\]

Resposta: d. 9/13

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta sobre a solução?

1. O que é o Teorema de Bayes?
2. Como se calcula a probabilidade condicional?
3. Quais são os passos para resolver um problema usando o Teorema de Bayes?
4. O que significa a probabilidade total?
5. Como interpretar a resposta \( P(A|B) \)?
6. Qual a importância de considerar eventos independentes ou dependentes?
7. Exemplos práticos do uso do Teorema de Bayes.
8. Quais são as limitações do Teorema de Bayes?

**Dica**: O Teorema de Bayes é uma ferramenta poderosa para atualizar probabilidades com base em novas evidências, muito utilizado em estatística, machine learning e análise de dados.

Learn how to calculate conditional probability using Bayes' Theorem with a detailed step-by-step solution. This problem involves determining the probability of choosing a specific carton of eggs based on observed outcomes. Suitable for advanced high school and college-level students.

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