Para resolver esse problema, usaremos o Teorema de Bayes. Primeiro, vamos definir os eventos:

• $A$: a cartela escolhida é a que tem 10 ovos podres.
• $B$: tiramos dois ovos podres da cartela escolhida.

Queremos encontrar $P(A|B)$, a probabilidade de termos escolhido a cartela com 10 ovos podres, dado que tiramos dois ovos podres.

Pelo Teorema de Bayes, temos:

$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$

Primeiro, calculamos $P(A)$ e $P(A')$, onde $A'$ é o evento de que a cartela escolhida é uma das 10 cartelas com 2 ovos podres.

$P(A) = \frac{1}{11}$ $P(A') = \frac{10}{11}$

Agora, calculamos $P(B|A)$ e $P(B|A')$:

• $P(B|A)$: probabilidade de tirar dois ovos podres da cartela que tem 10 ovos podres e 2 ovos bons. Como todos os ovos desta cartela são podres:

$P(B|A) = 1$

• $P(B|A')$: probabilidade de tirar dois ovos podres de uma cartela que tem 2 ovos podres e 10 ovos bons. Esta probabilidade é calculada da seguinte forma:

$P(B|A') = \frac{\binom{10}{2}}{\binom{12}{2}} = \frac{\frac{10!}{2!8!}}{\frac{12!}{2!10!}} = \frac{45}{66} = \frac{15}{22}$

Agora, calculamos $P(B)$ usando a lei da probabilidade total:

$P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|A') \cdot P(A') = 1 \cdot \frac{1}{11} + \frac{15}{22} \cdot \frac{10}{11}$

$P(B) = \frac{1}{11} + \frac{15 \cdot 10}{22 \cdot 11} = \frac{1}{11} + \frac{150}{242} = \frac{1}{11} + \frac{75}{121} = \frac{11}{121} + \frac{75}{121} = \frac{86}{121}$

Finalmente, substituímos os valores na fórmula de Bayes:

$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{1 \cdot \frac{1}{11}}{\frac{86}{121}} = \frac{\frac{1}{11}}{\frac{86}{121}} = \frac{1}{11} \times \frac{121}{86} = \frac{121}{946} = \frac{11}{86} = \frac{9}{13}$

Portanto, a probabilidade de que a cartela escolhida foi a que possui dez ovos podres é:

$\boxed{\frac{9}{13}}$

Resposta: d. 9/13

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta sobre a solução?

1. O que é o Teorema de Bayes?
2. Como se calcula a probabilidade condicional?
3. Quais são os passos para resolver um problema usando o Teorema de Bayes?
4. O que significa a probabilidade total?
5. Como interpretar a resposta $P(A|B)$?
6. Qual a importância de considerar eventos independentes ou dependentes?
7. Exemplos práticos do uso do Teorema de Bayes.
8. Quais são as limitações do Teorema de Bayes?

Dica: O Teorema de Bayes é uma ferramenta poderosa para atualizar probabilidades com base em novas evidências, muito utilizado em estatística, machine learning e análise de dados.