Para resolver las expresiones que involucran potencias de $i$, recordemos que las potencias de $i$ siguen un ciclo de longitud 4:

$i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1$

Entonces, para potencias más grandes, podemos reducir el exponente módulo 4 y encontrar el equivalente más pequeño.

Vamos a resolver cada apartado:

a) $3i^{128} + 5i^{625} - 3i^7$

1. $i^{128}$: $128 \mod 4 = 0$, por lo tanto $i^{128} = i^0 = 1$. $3i^{128} = 3 \times 1 = 3$

2. $i^{625}$: $625 \mod 4 = 1$, por lo tanto $i^{625} = i^1 = i$. $5i^{625} = 5 \times i = 5i$

3. $i^7$: $7 \mod 4 = 3$, por lo tanto $i^7 = i^3 = -i$. $-3i^7 = -3 \times (-i) = 3i$

Finalmente, sumamos todo: $3 + 5i + 3i = 3 + 8i$

b) $-7i^{77} - 4i^6 + 10i^{82}$

1. $i^{77}$: $77 \mod 4 = 1$, por lo tanto $i^{77} = i^1 = i$. $-7i^{77} = -7 \times i = -7i$

2. $i^6$: $6 \mod 4 = 2$, por lo tanto $i^6 = i^2 = -1$. $-4i^6 = -4 \times (-1) = 4$

3. $i^{82}$: $82 \mod 4 = 2$, por lo tanto $i^{82} = i^2 = -1$. $10i^{82} = 10 \times (-1) = -10$

Finalmente, sumamos todo: $-7i + 4 - 10 = -7i - 6$

c) $\frac{1}{2}i^{38} + \frac{2}{3}i^{58} - \frac{1}{4}i^{100}$

1. $i^{38}$: $38 \mod 4 = 2$, por lo tanto $i^{38} = i^2 = -1$. $\frac{1}{2}i^{38} = \frac{1}{2} \times (-1) = -\frac{1}{2}$

2. $i^{58}$: $58 \mod 4 = 2$, por lo tanto $i^{58} = i^2 = -1$. $\frac{2}{3}i^{58} = \frac{2}{3} \times (-1) = -\frac{2}{3}$

3. $i^{100}$: $100 \mod 4 = 0$, por lo tanto $i^{100} = i^0 = 1$. $-\frac{1}{4}i^{100} = -\frac{1}{4} \times 1 = -\frac{1}{4}$

Finalmente, sumamos todo: $-\frac{1}{2} - \frac{2}{3} - \frac{1}{4}$

El mínimo común denominador es 12: $-\frac{1}{2} = -\frac{6}{12}, \quad -\frac{2}{3} = -\frac{8}{12}, \quad -\frac{1}{4} = -\frac{3}{12}$ $-\frac{6}{12} - \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = -\frac{17}{12}$

Respuestas finales:

a) $3 + 8i$
b) $-7i - 6$
c) $-\frac{17}{12}$

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¿Te gustaría una explicación más detallada de algún paso o tienes alguna pregunta?

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