3)calcular las potencias de i
a)3i(elevado al 128)+ 5i (elevado al 625) - 3i (elevado a la 7)
b)-7 i(elevado al 77) - 4 i (elevado al 6) + 10i(elevado a la 82)
c)1sobre2 i (elevado al 38)+2sobre 3 i (elevado al 58) - 1sobre 4 i(elevado a 100) 


Para resolver las expresiones que involucran potencias de \( i \), recordemos que las potencias de \( i \) siguen un ciclo de longitud 4:

\[
i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1
\]

Entonces, para potencias más grandes, podemos reducir el exponente módulo 4 y encontrar el equivalente más pequeño.

Vamos a resolver cada apartado:

### a) \( 3i^{128} + 5i^{625} - 3i^7 \)

1. **\( i^{128} \)**: \( 128 \mod 4 = 0 \), por lo tanto \( i^{128} = i^0 = 1 \).
   \[
   3i^{128} = 3 \times 1 = 3
   \]

2. **\( i^{625} \)**: \( 625 \mod 4 = 1 \), por lo tanto \( i^{625} = i^1 = i \).
   \[
   5i^{625} = 5 \times i = 5i
   \]

3. **\( i^7 \)**: \( 7 \mod 4 = 3 \), por lo tanto \( i^7 = i^3 = -i \).
   \[
   -3i^7 = -3 \times (-i) = 3i
   \]

Finalmente, sumamos todo:
\[
3 + 5i + 3i = 3 + 8i
\]

### b) \( -7i^{77} - 4i^6 + 10i^{82} \)

1. **\( i^{77} \)**: \( 77 \mod 4 = 1 \), por lo tanto \( i^{77} = i^1 = i \).
   \[
   -7i^{77} = -7 \times i = -7i
   \]

2. **\( i^6 \)**: \( 6 \mod 4 = 2 \), por lo tanto \( i^6 = i^2 = -1 \).
   \[
   -4i^6 = -4 \times (-1) = 4
   \]

3. **\( i^{82} \)**: \( 82 \mod 4 = 2 \), por lo tanto \( i^{82} = i^2 = -1 \).
   \[
   10i^{82} = 10 \times (-1) = -10
   \]

Finalmente, sumamos todo:
\[
-7i + 4 - 10 = -7i - 6
\]

### c) \( \frac{1}{2}i^{38} + \frac{2}{3}i^{58} - \frac{1}{4}i^{100} \)

1. **\( i^{38} \)**: \( 38 \mod 4 = 2 \), por lo tanto \( i^{38} = i^2 = -1 \).
   \[
   \frac{1}{2}i^{38} = \frac{1}{2} \times (-1) = -\frac{1}{2}
   \]

2. **\( i^{58} \)**: \( 58 \mod 4 = 2 \), por lo tanto \( i^{58} = i^2 = -1 \).
   \[
   \frac{2}{3}i^{58} = \frac{2}{3} \times (-1) = -\frac{2}{3}
   \]

3. **\( i^{100} \)**: \( 100 \mod 4 = 0 \), por lo tanto \( i^{100} = i^0 = 1 \).
   \[
   -\frac{1}{4}i^{100} = -\frac{1}{4} \times 1 = -\frac{1}{4}
   \]

Finalmente, sumamos todo:
\[
-\frac{1}{2} - \frac{2}{3} - \frac{1}{4}
\]

El mínimo común denominador es 12:
\[
-\frac{1}{2} = -\frac{6}{12}, \quad -\frac{2}{3} = -\frac{8}{12}, \quad -\frac{1}{4} = -\frac{3}{12}
\]
\[
-\frac{6}{12} - \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = -\frac{17}{12}
\]

### Respuestas finales:
a) \( 3 + 8i \)  
b) \( -7i - 6 \)  
c) \( -\frac{17}{12} \)

---

¿Te gustaría una explicación más detallada de algún paso o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se obtienen los restos al dividir un exponente entre 4?
2. ¿Qué sucede si se eleva \( i \) a una potencia negativa?
3. ¿Cómo simplificar fracciones complejas en expresiones con \( i \)?
4. ¿Cuál es

calcular las potencias de i: a) 3i^128 + 5i^625 - 3i^7, b) -7i^77 - 4i^6 + 10i^82, c) (1/2)i^38 + (2/3)i^58 - (1/4)i^100

Explore how to calculate powers of i, such as 3i^128 + 5i^625 - 3i^7, using modular arithmetic. This step-by-step solution guides through reducing exponents modulo 4 and simplifying complex number expressions. Suitable for students in Grades 10-12.

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