Формула для вычисления длины грани правильного многоугольника, вписанного в окружность, по диаметру окружности $D$ и количеству граней $n$ выглядит следующим образом:

$a = D \cdot \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Где:

• $a$ — длина грани многоугольника.
• $D$ — диаметр окружности.
• $n$ — количество граней многоугольника.

Детали

• Формула основана на том, что все вершины правильного многоугольника касаются окружности.
• Угол $\frac{\pi}{n}$ — это половина центрального угла, соответствующего одной грани многоугольника.

Вопросы для углубления

1. Как вывести эту формулу, начиная с основных тригонометрических соотношений?
2. Как изменится длина грани при увеличении количества сторон многоугольника?
3. Как связаны длина стороны и радиус окружности, в которую вписан многоугольник?
4. Какие свойства будет иметь многоугольник при $n = 4$ (квадрат) или $n = 6$ (шестиугольник)?
5. Как найти площадь правильного многоугольника, вписанного в окружность?

Советы

Для вычисления длин сторон при малом количестве граней, например $n = 3$ или $n = 4$, следует использовать точные значения тригонометрических функций, чтобы избежать погрешностей.