Продовжимо обчислення площі повної поверхні паралелепіпеда.

### 3. Площа повної поверхні паралелепіпеда

Ми вже знайшли площу одного з паралелограмів:

\[
S_1 = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{\frac{293}{72}}
\]

Тепер знайдемо площі для інших двох паралелограмів.

2. **Обчислення \( S_2 = |\vec{a} \times \vec{c}| \):**

\[
\vec{a} \times \vec{c} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & \frac{1}{3} & 0 \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1
\end{vmatrix}
\]

Обчислимо визначник:

\[
\vec{a} \times \vec{c} = \mathbf{i} \left(\frac{1}{3} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2}\right) - \mathbf{j} \left(1 \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2}\right) + \mathbf{k} \left(1 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\right)
\]

\[
\vec{a} \times \vec{c} = \mathbf{i} \left(\frac{1}{3}\right) - \mathbf{j} (1) + \mathbf{k} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right)
\]

\[
\vec{a} \times \vec{c} = \mathbf{i} \left(\frac{1}{3}\right) - \mathbf{j} + \mathbf{k} \left(\frac{1}{3}\right)
\]

\[
\vec{a} \times \vec{c} = \left(\frac{1}{3}, -1, \frac{1}{3}\right)
\]

Тоді:

\[
|\vec{a} \times \vec{c}| = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + (-1)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2}
\]

\[
|\vec{a} \times \vec{c}| = \sqrt{\frac{1}{9} + 1 + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{9}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{11}{9}}
\]

3. **Обчислення \( S_3 = |\vec{b} \times \vec{c}| \):**

Ми вже обчислили векторний добуток \( \vec{b} \times \vec{c} \):

\[
\vec{b} \times \vec{c} = \left(\frac{15}{8}, \frac{1}{8}, -1\right)
\]

Тоді:

\[
|\vec{b} \times \vec{c}| = \sqrt{\left(\frac{15}{8}\right)^2 + \left(\frac{1}{8}\right)^2 + (-1)^2}
\]

\[
|\vec{b} \times \vec{c}| = \sqrt{\frac{225}{64} + \frac{1}{64} + 1} = \sqrt{\frac{226}{64} + 1} = \sqrt{\frac{226 + 64}{64}} = \sqrt{\frac{290}{64}}
\]

### 4. Підсумок площі повної поверхні паралелепіпеда

Площа повної поверхні паралелепіпеда обчислюється як сума площ усіх шести граней. Кожна площа паралелограма враховується двічі:

\[
S_{\text{поверхні}} = 2(S_1 + S_2 + S_3)
\]

Підставимо знайдені значення:

\[
S_{\text{поверхні}} = 2\left(\sqrt{\frac{293}{72}} + \sqrt{\frac{11}{9}} + \sqrt{\frac{290}{64}}\right)
\]

### 5. Фінальні результати

- **Координати векторів:**
  - \( \vec{a} = (1, \frac{1}{3}, 0) \)
  - \( \vec{b} = (0, 2, \frac{1}{4}) \)
  - \( \vec{c} = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right) \)

- **Об'єм паралелепіпеда:**
  - \( V = \frac{23}{12} \)

- **Площа повної поверхні паралелепіпеда:**
  - \( S_{\text{поверхні}} = 2\left(\sqrt{\frac{293}{72}} + \sqrt{\frac{11}{9}} + \sqrt{\frac{290}{64}}\right) \)

Якщо потрібно обчислити ще якісь додаткові результати або маєте інші питання, повідомте мене!

---

**Питання для подальшого вивчення:**

1. Як знайти діагоналі паралелепіпеда і обчислити їх довжини?
2. Як впливає зміна однієї з координат точок на об'єм і площу паралелепіпеда?
3. Як обчислити кут між двома векторами?
4. Які властивості змішаного добутку трьох векторів?
5. Як знайти центр мас паралелепіпеда, якщо його щільність рівномірна?

**Порада:** Завжди перевіряйте свої обчислення на різних етапах, щоб уникнути помилок.

Learn how to calculate the surface area of a parallelepiped using vector cross products with a detailed step-by-step solution. This problem involves finding the surface area of a parallelepiped formed by vectors with specific coordinates. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation