Solution
Продовжимо обчислення площі повної поверхні паралелепіпеда.
3. Площа повної поверхні паралелепіпеда
Ми вже знайшли площу одного з паралелограмів:
S1=∣a×b∣=72293
Тепер знайдемо площі для інших двох паралелограмів.
- Обчислення S2=∣a×c∣:
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & \frac{1}{3} & 0 \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1
\end{vmatrix}$$
Обчислимо визначник:
$$\vec{a} \times \vec{c} = \mathbf{i} \left(\frac{1}{3} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2}\right) - \mathbf{j} \left(1 \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2}\right) + \mathbf{k} \left(1 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\right)$$
$$\vec{a} \times \vec{c} = \mathbf{i} \left(\frac{1}{3}\right) - \mathbf{j} (1) + \mathbf{k} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right)$$
$$\vec{a} \times \vec{c} = \mathbf{i} \left(\frac{1}{3}\right) - \mathbf{j} + \mathbf{k} \left(\frac{1}{3}\right)$$
$$\vec{a} \times \vec{c} = \left(\frac{1}{3}, -1, \frac{1}{3}\right)$$
Тоді:
$$|\vec{a} \times \vec{c}| = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + (-1)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2}$$
$$|\vec{a} \times \vec{c}| = \sqrt{\frac{1}{9} + 1 + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{9}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{11}{9}}$$
3. **Обчислення $$S_3 = |\vec{b} \times \vec{c}|$$:**
Ми вже обчислили векторний добуток $$\vec{b} \times \vec{c}$$:
$$\vec{b} \times \vec{c} = \left(\frac{15}{8}, \frac{1}{8}, -1\right)$$
Тоді:
$$|\vec{b} \times \vec{c}| = \sqrt{\left(\frac{15}{8}\right)^2 + \left(\frac{1}{8}\right)^2 + (-1)^2}$$
$$|\vec{b} \times \vec{c}| = \sqrt{\frac{225}{64} + \frac{1}{64} + 1} = \sqrt{\frac{226}{64} + 1} = \sqrt{\frac{226 + 64}{64}} = \sqrt{\frac{290}{64}}$$
### 4. Підсумок площі повної поверхні паралелепіпеда
Площа повної поверхні паралелепіпеда обчислюється як сума площ усіх шести граней. Кожна площа паралелограма враховується двічі:
$$S_{\text{поверхні}} = 2(S_1 + S_2 + S_3)$$
Підставимо знайдені значення:
$$S_{\text{поверхні}} = 2\left(\sqrt{\frac{293}{72}} + \sqrt{\frac{11}{9}} + \sqrt{\frac{290}{64}}\right)$$
### 5. Фінальні результати
- **Координати векторів:**
- $$\vec{a} = (1, \frac{1}{3}, 0)$$
- $$\vec{b} = (0, 2, \frac{1}{4})$$
- $$\vec{c} = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)$$
- **Об'єм паралелепіпеда:**
- $$V = \frac{23}{12}$$
- **Площа повної поверхні паралелепіпеда:**
- $$S_{\text{поверхні}} = 2\left(\sqrt{\frac{293}{72}} + \sqrt{\frac{11}{9}} + \sqrt{\frac{290}{64}}\right)$$
Якщо потрібно обчислити ще якісь додаткові результати або маєте інші питання, повідомте мене!
---
**Питання для подальшого вивчення:**
1. Як знайти діагоналі паралелепіпеда і обчислити їх довжини?
2. Як впливає зміна однієї з координат точок на об'єм і площу паралелепіпеда?
3. Як обчислити кут між двома векторами?
4. Які властивості змішаного добутку трьох векторів?
5. Як знайти центр мас паралелепіпеда, якщо його щільність рівномірна?
**Порада:** Завжди перевіряйте свої обчислення на різних етапах, щоб уникнути помилок.