Math Problem Statement

有一组数据,此数据中的每一个数据都乘以2再减去80,得到一组新的数据,已知新数据的平均数为1.2,方差是4.4,问原来的这一组数据的平均数和方差是多少

Solution

这道题涉及对数据进行线性变换,并且要求根据变换后的数据的均值和方差,推导出原始数据的均值和方差。我们可以通过理解线性变换对均值和方差的影响来解决这个问题。

题目分析

设原始数据为 XX,新数据为 YY。根据题意,YY 是由 XX 经过如下变换得到的:

Y=2X80Y = 2X - 80

已知新数据 YY 的平均数 μY=1.2\mu_Y = 1.2 和方差 σY2=4.4\sigma_Y^2 = 4.4

要求原始数据 XX 的平均数 μX\mu_X 和方差 σX2\sigma_X^2

1. 求原始数据的平均数

根据线性变换对均值的影响,如果 Y=aX+bY = aX + b,那么:

μY=aμX+b\mu_Y = a\mu_X + b

将已知数据代入:

1.2=2μX801.2 = 2\mu_X - 80

解方程:

2μX=1.2+80=81.22\mu_X = 1.2 + 80 = 81.2 μX=81.22=40.6\mu_X = \frac{81.2}{2} = 40.6

所以,原始数据的平均数为 40.6

2. 求原始数据的方差

根据线性变换对方差的影响,如果 Y=aX+bY = aX + b,那么:

σY2=a2σX2\sigma_Y^2 = a^2\sigma_X^2

因为常数项 bb 对方差没有影响,所以方差只受到系数 aa 的平方的影响。

将已知数据代入:

4.4=22σX24.4 = 2^2\sigma_X^2 4.4=4σX24.4 = 4\sigma_X^2 σX2=4.44=1.1\sigma_X^2 = \frac{4.4}{4} = 1.1

所以,原始数据的方差为 1.1

总结

  • 原始数据的平均数 μX=40.6\mu_X = 40.6
  • 原始数据的方差 σX2=1.1\sigma_X^2 = 1.1

有任何问题或需要进一步的解释吗?

这里有五个相关问题来扩展这个话题:

  1. 如果数据中的每个值都加上一个常数,方差会发生什么变化?
  2. 如果数据中的每个值都乘以一个负数,数据的均值和方差会怎样变化?
  3. 如何根据方差计算标准差?
  4. 如果一组数据中包含负数,对均值和方差会有什么影响?
  5. 标准化(归一化)数据后,均值和方差会变成什么?

提示:方差的计算只受比例系数的平方影响,而均值受加减常数和比例系数的直接影响。

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear transformations
Mean and variance in statistics

Formulas

Linear transformation formula: Y = aX + b
Variance transformation formula: Var(Y) = a^2 * Var(X)

Theorems

-

Suitable Grade Level

Advanced High School