درجامعه ای با واریانس ۱/۶۵ اگر طول فاصله اطمینان ۹۵درصد برابر ۰/۲باشد حداقل حجم نمونه لازم برای براورد میانگین جامعه چقدر خواهد بود.
راهنمایی
Z0.975=2

برای تعیین حجم نمونه لازم برای برآورد میانگین جامعه با واریانس داده شده و طول فاصله اطمینان مورد نظر، از فرمول فاصله اطمینان استفاده می‌کنیم. اطلاعات داده شده به شرح زیر است:

- واریانس جامعه (σ²) = 1.65
- طول فاصله اطمینان (C.I.) = 0.2
- درصد اطمینان = 95٪ (که برای سطح اطمینان 95٪، Z₀.₉₇₅ برابر با 2 است)

طول فاصله اطمینان به صورت زیر تعریف می‌شود:
\[ \text{طول فاصله اطمینان} = 2 \times Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

ما به دنبال حجم نمونه \(n\) هستیم. ابتدا انحراف معیار جامعه (σ) را محاسبه می‌کنیم:
\[ \sigma = \sqrt{1.65} \approx 1.284 \]

سپس طول فاصله اطمینان را در فرمول قرار می‌دهیم:
\[ 0.2 = 2 \times 2 \times \frac{1.284}{\sqrt{n}} \]

حل معادله برای \(n\):
\[ 0.2 = 4 \times \frac{1.284}{\sqrt{n}} \]

تقسیم طرفین معادله بر 4:
\[ 0.05 = \frac{1.284}{\sqrt{n}} \]

ضرب طرفین معادله در \(\sqrt{n}\):
\[ 0.05 \sqrt{n} = 1.284 \]

تقسیم طرفین معادله بر 0.05:
\[ \sqrt{n} = \frac{1.284}{0.05} \]

محاسبه:
\[ \sqrt{n} = 25.68 \]

با توان رساندن هر دو طرف:
\[ n = (25.68)^2 \]

و در نهایت:
\[ n \approx 659 \]

بنابراین، حداقل حجم نمونه لازم برای برآورد میانگین جامعه با توجه به واریانس داده شده و طول فاصله اطمینان 0.2 در سطح اطمینان 95٪، برابر با 659 است.

آیا جزئیات بیشتری لازم دارید یا سوال دیگری دارید؟

### سوالات مرتبط:
1. چگونه می‌توان طول فاصله اطمینان را برای درصد اطمینان دیگر (مثلاً 99٪) محاسبه کرد؟
2. چه تفاوتی بین انحراف معیار و واریانس وجود دارد؟
3. چگونه می‌توان حجم نمونه را در صورتی که واریانس جامعه داده نشده باشد محاسبه کرد؟
4. در چه مواردی باید از توزیع t به جای توزیع z استفاده کرد؟
5. چگونه می‌توان دقت برآورد میانگین را با افزایش حجم نمونه بهبود بخشید؟
6. چه عواملی می‌توانند باعث تغییر در حجم نمونه لازم شوند؟
7. چگونه می‌توان از نرم‌افزارهای آماری برای محاسبه حجم نمونه استفاده کرد؟
8. چه راه‌هایی برای کاهش خطا در نمونه‌گیری وجود دارد؟

### نکته:
با افزایش حجم نمونه، دقت برآورد آماری افزایش می‌یابد و خطای نمونه‌گیری کاهش می‌یابد.

Learn how to calculate the minimum sample size required to estimate the population mean with a given variance and confidence interval. This problem covers statistical inference concepts, including confidence intervals and sample size determination. Suitable for college-level students and researchers.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation