Math Problem Statement

diketahui ²log 5=a dan ⁷log 2=b maka hitunglah a(1+b)nilai dari ³⁵log 98 adalah

Solution

Diketahui:

log25=adanlog72=b\log_2 5 = a \quad \text{dan} \quad \log_7 2 = b

Diminta menghitung a(1+b)a(1+b) dan log3598\log_{35} 98.

1. Menghitung a(1+b)a(1 + b)

  • Kita mulai dari a(1+b)a(1+b):

    a(1+b)=log25×(1+log72)a(1+b) = \log_2 5 \times (1 + \log_7 2)

Menggunakan sifat logaritma, kita dapat menulis:

logab=logcblogca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Sehingga:

log72=log22log27=1log27\log_7 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 7} = \frac{1}{\log_2 7}

Jadi:

1+log72=1+1log27=log27+1log271 + \log_7 2 = 1 + \frac{1}{\log_2 7} = \frac{\log_2 7 + 1}{\log_2 7}

Sehingga:

a(1+b)=log25×log27+1log27=log25(log27+1)log27a(1 + b) = \log_2 5 \times \frac{\log_2 7 + 1}{\log_2 7} = \frac{\log_2 5 (\log_2 7 + 1)}{\log_2 7}

2. Menghitung log3598\log_{35} 98

  • Kita perhatikan bahwa 98 bisa ditulis sebagai 98 = 2×722 \times 7^2. Dengan demikian:

log3598=log35(2×72)\log_{35} 98 = \log_{35} (2 \times 7^2)

Dengan menggunakan sifat logaritma:

log35(2×72)=log352+2log357\log_{35} (2 \times 7^2) = \log_{35} 2 + 2 \log_{35} 7

Selanjutnya, kita gunakan perubahan basis:

log352=log22log235=1log235\log_{35} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 35} = \frac{1}{\log_2 35}

dan

log357=log77log735=1log735\log_{35} 7 = \frac{\log_7 7}{\log_7 35} = \frac{1}{\log_7 35}

Sehingga nilai dari log3598\log_{35} 98 adalah:

log3598=1log235+2×1log735\log_{35} 98 = \frac{1}{\log_2 35} + 2 \times \frac{1}{\log_7 35}

Namun, untuk hasil spesifik dari log3598\log_{35} 98, diperlukan nilai-nilai tertentu dari logaritma yang bergantung pada basis 2 dan 7, yang memerlukan kalkulasi numerik lebih lanjut.

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut tentang langkah-langkah ini?

Pertanyaan Terkait:

  1. Bagaimana cara menggunakan perubahan basis untuk logaritma dengan basis selain 10?
  2. Mengapa kita menggunakan sifat logaritma dalam kalkulasi ini?
  3. Bagaimana cara memperkirakan nilai logaritma untuk basis yang tidak umum?
  4. Apakah sifat logaritma berlaku untuk semua bilangan real?
  5. Bagaimana jika nilai aa atau bb yang diberikan adalah nilai eksak?

Tip:

Menguasai sifat-sifat logaritma, seperti perubahan basis dan perkalian, akan sangat berguna dalam menyederhanakan dan menyelesaikan persamaan logaritma.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Logarithms
Change of Base Formula
Properties of Logarithms

Formulas

Change of base formula: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)

Theorems

-

Suitable Grade Level

Advanced High School / College Level