Abychom vypočítali limitu $\lim_{x \to 1} \frac{x - \sqrt{2} - \sqrt{x}}{x - 1}$, postupujme krok za krokem.

Krok 1: Zkontrolujeme, zda máme definovaný výraz v bodě $x = 1$

Pokud bychom přímo dosadili $x = 1$ do výrazu, dostaneme:

$\frac{1 - \sqrt{2} - \sqrt{1}}{1 - 1} = \frac{1 - \sqrt{2} - 1}{0} = \frac{-\sqrt{2}}{0}$

Toto je nedefinované, protože máme dělení nulou. Znamená to, že limita bude muset být analyzována jiným způsobem.

Krok 2: Pokusíme se upravit výraz

Máme složitý výraz v čitateli, který obsahuje $\sqrt{2}$ a $\sqrt{x}$. Zkusme použít Taylorův rozvoj nebo l'Hôpitalovo pravidlo, protože výraz má formu typu $\frac{0}{0}$.

Použití l'Hôpitalova pravidla

l'Hôpitalovo pravidlo nám říká, že pokud máme limitu ve formě $\frac{0}{0}$, můžeme derivovat čitatele a jmenovatele a poté zkusit limity znovu.

Takže začneme derivovat čitatele a jmenovatele.

• Derivace čitatele $f(x) = x - \sqrt{2} - \sqrt{x}$:

$f'(x) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

• Derivace jmenovatele $g(x) = x - 1$:

$g'(x) = 1$

Krok 3: Spočítáme limitu

Použijeme l'Hôpitalovo pravidlo a spočítáme limitu výrazu $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ při $x \to 1$:

$\lim_{x \to 1} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 1} \left( 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} \right)$

Při $x = 1$ dostaneme:

$1 - \frac{1}{2\sqrt{1}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Konečný výsledek

Limita je tedy:

$\lim_{x \to 1} \frac{x - \sqrt{2} - \sqrt{x}}{x - 1} = \frac{1}{2}$

---

Pokud máte jakékoliv dotazy nebo byste chtěli více detailů o použité metodě, dejte mi vědět!

Další otázky:

1. Jakým způsobem bychom použili Taylorův rozvoj pro tento typ úloh?
2. Jak funguje l'Hôpitalovo pravidlo v dalších typech limit?
3. Co se stane, pokud v čitateli místo $\sqrt{x}$ bude jiná funkce?
4. Jaké jsou jiné způsoby, jak vypočítat limitu v tomto typu úlohy?
5. Můžete mi ukázat, jak aplikovat l'Hôpitalovo pravidlo pro více než jeden krok derivování?

Tip:

Pro funkce obsahující odmocniny nebo zlomky často pomáhá aplikace l'Hôpitalova pravidla, zejména pokud se vyskytuje forma $\frac{0}{0}$.