Para resolver el límite al infinito de la función racional:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{-\frac{3}{5}x^3 - 5x^2 + 8x}{-4x^3 + 7x - 9}$

seguimos estos pasos:

Paso 1: Identificar el grado de cada polinomio

• El polinomio en el numerador es de grado 3, con el término dominante $-\frac{3}{5}x^3$.
• El polinomio en el denominador también es de grado 3, con el término dominante $-4x^3$.

Cuando tenemos una fracción de polinomios, y ambos tienen el mismo grado, el límite al infinito depende del cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado.

Paso 2: Calcular el cociente de los términos de mayor grado

El límite se simplifica a:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{-\frac{3}{5}x^3}{-4x^3} = \frac{-\frac{3}{5}}{-4} = \frac{3}{20}$

Paso 3: Conclusión

Dado que el límite es un número finito, $\frac{3}{20}$, concluimos que:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{-\frac{3}{5}x^3 - 5x^2 + 8x}{-4x^3 + 7x - 9} = \frac{3}{20}$

Comprobación en GeoGebra

Para verificar visualmente este resultado en GeoGebra:

1. Introducir la función $\frac{-\frac{3}{5}x^3 - 5x^2 + 8x}{-4x^3 + 7x - 9}$.
2. Observar el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a valores muy grandes (por ejemplo, acercándose a $10^6$ o mayores).
3. Verificar que la función se aproxima a la constante $\frac{3}{20}$ conforme $x \to \infty$.

¿Deseas que agregue detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

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Tip

Para resolver límites de funciones racionales al infinito, observa siempre el grado del polinomio en el numerador y denominador. Esto te indica rápidamente si el límite tiende a una constante, al infinito, o a cero.