برای محاسبه فراوانی سایر ایزوتوپ‌های عنصر X، ابتدا از داده‌های مسئله استفاده می‌کنیم:

1. جرم ایزوتوپ‌های عنصر X به ترتیب:

   • ایزوتوپ اول: $m_1 = 64$
   • ایزوتوپ دوم: $m_2 = 65.5$
   • ایزوتوپ سوم: $m_3 = 69.9$

2. جرم میانگین: $\overline{m} = 65.5$

3. فراوانی عنصر سنگین (ایزوتوپ سوم) $f_3 = 0.60$ یا 60٪.

مرحله اول: تعریف فراوانی‌ها

فراوانی‌های ایزوتوپ‌های دیگر را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

• فراوانی ایزوتوپ اول: $f_1 = x$
• فراوانی ایزوتوپ دوم: $f_2 = y$

از آنجا که مجموع فراوانی‌های ایزوتوپ‌ها باید برابر با ۱ باشد، یعنی:

$x + y + 0.60 = 1$

بنابراین:

\quad \text{(رابطه ۱)}$$ ### مرحله دوم: محاسبه میانگین جرم میانگین جرم طبق فرمول زیر محاسبه می‌شود: $$\overline{m} = x \cdot m_1 + y \cdot m_2 + 0.60 \cdot m_3$$ با جایگذاری مقادیر داده شده: $$65.5 = x \cdot 64 + y \cdot 65.5 + 0.60 \cdot 69.9$$ ابتدا $$0.60 \cdot 69.9$$ را محاسبه می‌کنیم: $$0.60 \cdot 69.9 = 41.94$$ پس معادله به شکل زیر درمی‌آید: $$65.5 = 64x + 65.5y + 41.94$$ حال طرف راست معادله را ساده می‌کنیم: $$65.5 = 64x + 65.5y + 41.94 \quad \Rightarrow \quad 64x + 65.5y = 65.5 - 41.94 \quad \Rightarrow \quad 64x + 65.5y = 23.56$$ ### مرحله سوم: حل دستگاه معادلات ما دو معادله داریم: 1. $$x + y = 0.40$$ 2. $$64x + 65.5y = 23.56$$ از معادله اول، $$y = 0.40 - x$$ را جایگذاری می‌کنیم در معادله دوم: $$64x + 65.5(0.40 - x) = 23.56$$ معادله را گسترش می‌دهیم: $$64x + 65.5 \cdot 0.40 - 65.5x = 23.56 \quad \Rightarrow \quad 64x + 26.2 - 65.5x = 23.56$$ حالا طرف‌های $$x$$ را با هم ترکیب می‌کنیم: $$(64 - 65.5)x = 23.56 - 26.2 \quad \Rightarrow \quad -1.5x = -2.64 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-2.64}{-1.5} = 1.76$$ این مقدار صحیح نیست چون باید کمتر از 1 باشد.